动态规划-整数拆分

整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break
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解释：

首先寻找最优子结构。

我们通过看问题可以知道这样的计算规则：n = x1 + y，y = x2 + x3。result = x1 * y = x1 * x2 * x3。也就是说要使 result 最大，需要使得 y 最大。这样最优子结构就出来了。

而我们求 result 的最大值需要去从1开始拼凑，result = max(1*dp[i-1], …) 直到 i 为之，i-1 * dp[1]。

但是我们的dp[i]拆分成的数为正整数，所以像 3 = 1 * 2 通过上面的递推公式是求不出来的，因为 dp[2] 得不到2（2拆分不成0+2，因为0是非正整数），所以需要加另一个解 result = max(1 * i-1, 2 * i-2…)

所以综上，递推公式为 f(n) = max_{1<=j(max(j * i-j，j * f(i-j))}

而我们每次遍历j，将result保存在了dp[i]中，所以上式又可以变成：f(n) = max(f(n), j * i-j, j * f(i-j))

dp table：dp[i]，数字i的最大整数拆分积
递推公式：f(n) = max(f(n), j*(i-j), j*dp[i-j])
初始化：dp[0] = dp[1] = 1。但是dp[0]与dp[1]是没有意义的，这里只是为了方便求解才初始化成1的。
遍历顺序：父问题n比子问题n大，所以从前往后遍历
终止条件：当求解完n可推出。即 i < n + 1

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0 for i in range(n + 1)]
        dp[0] = dp[1] = 1
        
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j])
                
        return dp[n]