动态规划【整数拆分】

题目

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/integer-break
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思路

1. 确定dp数组和下标含义
   dp[i]表示对正整数i做拆分后的最大乘积

2. dp公式
   对于小于10的数，比如4，5，6，7这些，拆分的两个数字越大，乘积越大，4拆成2和2，5拆成2和3，6拆成3和3，7拆成3和4
   所以对于这种拆分后是两个数的情况下，可以加一个循环，从i-1和1开始，比如4，就让拆分从3和1开始，求一次乘积，下一次循环就是求2乘以2，这样循环一圈就总能找到最大乘积了；

   还有一种情形，j *（i- j）< j * dp[i - j]; 这就需要取后面的为最大值了，至于dp[i - j]是多少，在动态规划进行中自然会提前算好的

3. dp数组初始化
   初始化dp[1] = 0;因为后面代码中有比较dp[1]大小的情况，所以赋值为0防止报错；
   初始化dp[2] = 1,因为只有1+1=2这一种情况，乘积1*1=1

4. 确定遍历顺序
   要注意的是，求dp[i]的顺序是从2开始一直向后求下去的，但是循环比较dp[i]的最大值时，要让拆分的最大数字为j，j依次递减
   这样可以保证循环之中需要比较dp[i - j]的时候，dp[i -j]是已经计算出的，不然会报数组越界的错误

代码

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 0;//因为后面代码中有比较dp[1]大小的情况，所以赋值为0防止报错；
        dp[2] = 1;//因为只有1+1=2这一种情况，乘积1*1=1
        int temp = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = i - 1; j > 0; j--) {
            //循环比较dp[i]的最大值时，要让拆分的最大数字为j，j依次递减
这样可以保证循环之中需要比较dp[i - j]的时候，dp[i -j]是已经计算出的，不然会报数组越界的错误
                if (Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]) > temp)
                dp[i] = Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]);
                temp = dp[i];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}