算法-动态规划-完全背包问题-518.零钱兑换II-C++

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问题

题目难度：中等

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:

5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1
注意，你可以假设：

0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种
结果符合 32 位符号整数

思路

问题分析：

01背包是指的物品有限，这里给的是无限物品，问的是多少种方式，所以使用完全背包。
使用动规五部曲分析：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]，也就是多少种方式。

2. 确定递推公式

dp[j]+=dp[j-nums[i]]
限制条件在于，循环时，j的大小会比nums[i]大，而且当循环到nums[i]的倍数的时候还会根据之前的dp[j-nums[i]]进行加1 。因为初始化为1。

3. dp数组如何初始化

问题中的背包问题是问的组合方式，故当j=0时dp[0]=1。
之后经过排序后的数组第一数，会根据1进行第一次的初始化操作。

4. 确定遍历顺序

本题的顺序是要注意的，因为是要求组合，例如{1，5}，那么{5，1}就与其重复，故遍历顺序一定是先物品再背包，避免物品多次被计算。

代码如下：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

5. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

C++代码如下：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

总结

个人感觉比较有难度的地方在于，想明白它是如何计算次数的，根据对背包容量的大于nums[i]限制，以及初始化为1，从前往后遍历dp[j - coins[i]]，三条元素决定了，它能够根据num[i]的大小自动添加1 。