Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的图算法，由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出。它可以找到两个节点之间的最短路径，但仅适用于没有负权边的有向图或无向图。

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Dijkstra算法的原理

1. 创建一个节点集合，用于存储已经确定最短路径的节点，将起始节点添加到该集合中。 
2. 初始化一个距离集合，用于存储起始节点到其他节点的距离。起始节点的距离为0，其他节点的距离初值为正无穷。
3. 当节点集合不为空时，重复以下步骤：
   - 从距离集合中选取一个距离最小的节点，将其从距离集合中删除，并加入节点集合。
   - 对于该节点的每个邻居节点，计算从起始节点经过当前节点到达邻居节点的距离。如果该距离小于目前距离集合中的距离，则更新距离集合中的距离。
4. 当节点集合为空时，算法结束。此时，距离集合中存储的距离即为最短路径的结果。

通过这种方式，Dijkstra算法能够确定起始节点到其他节点的最短路径，并计算出每个节点的最短距离。这种算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点数。

Dijkstra算法的核心思想

Dijkstra算法的核心思想是通过每一轮迭代，不断确定起始节点到当前节点的最短路径，并更新每个节点的最短距离。同时，通过选取距离最小的节点，保证每一轮加入节点集合的节点都是距离起始节点最近的节点。

使用一个优先级队列（如最小堆）来选择距离集合中距离最小的节点，可以提高算法的效率。每次从优先级队列中取出距离最小的节点，将其加入节点集合，并更新与该节点直接相连的节点的最短距离。这样，就可以在O(logV)的时间内选取距离最小的节点，从而将Dijkstra算法的时间复杂度优化为O((V+E)logV)，其中E是边的数量。

总结起来，Dijkstra算法通过不断选取距离最小的节点，逐步确定起始节点到其他节点的最短路径，并计算出每个节点的最短距离。这使得Dijkstra算法成为一种常用且有效的最短路径算法，广泛应用于网络路由、地图导航等领域。

Dijkstra算法的关键在于不断更新节点的最短距离，并选择最小的距离进行扩展，直到所有节点都被加入节点集合为止。这样就能保证每个节点被访问时，它的最短距离已经被确定下来。

需要注意的是，Dijkstra算法要求图中没有负权边。因为它利用了每次扩展节点时的最小距离，如果存在负权边，可能会导致出现环路，破坏了最短路径的定义。

最后，通过将前驱节点集合中记录的路径逆序输出，我们可以得到从起始节点到目标节点的最短路径。

总结来说，Dijkstra算法通过不断选择距离最小的节点，并更新节点距离及前驱节点，来找到起始节点到其他节点的最短路径。它是一种广泛使用的最短路径算法，但要求图中没有负权边。在实际应用中，可以利用优先级队列来提高算法的效率。

在实际应用中，Dijkstra算法还可以扩展为解决单源最短路径问题和全源最短路径问题。

对于单源最短路径问题，即给定一个起始节点，需要计算出该节点到图中所有其他节点的最短路径。在使用Dijkstra算法解决单源最短路径问题时，只需将起始节点到其他节点的距离初始化为正无穷，然后进行Dijkstra算法的步骤即可。

而对于全源最短路径问题，即给定图中所有节点，需要计算出任意两个节点之间的最短路径。在使用Dijkstra算法解决全源最短路径问题时，需要对每个节点都执行一次Dijkstra算法，分别得到该节点到其他节点的最短路径。

需要注意的是，在面对大规模图和较多节点时，Dijkstra算法可能会变得低效，因为它需要计算每个节点到所有其他节点的最短路径。在这种情况下，可以考虑使用其他最短路径算法，如A*算法、Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法，来提高计算效率。

总结来说，Dijkstra算法是一种解决最短路径问题的图算法，通过不断选择距离最小的节点，并更新最短路径和前驱节点，来找到起始节点到其他节点的最短路径。它可用于解决单源最短路径问题和全源最短路径问题，但要求图中没有负权边。在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的最短路径算法。

例子

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

// 定义无穷大表示不可达
const int INF = numeric_limits::max();

// 图的邻接表表示
typedef pair Edge; // <邻居节点, 边权重>
typedef vector> Graph; // 邻接表表示的图

vector Dijkstra(const Graph& graph, int start) {
    int n = graph.size(); // 图中节点的个数

    vector dist(n, INF); // 用于存储起始节点到各个节点的最短距离
    dist[start] = 0; // 起始节点到自身的距离为0

    // 定义优先队列，按照节点到起始节点的最短距离排序
    priority_queue, greater> pq;
    pq.push({0, start});

    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().second; // 当前最短路径节点
        int d = pq.top().first; // 当前最短路径值
        pq.pop();

        // 如果当前节点已经被访问过，则跳过
        if (d > dist[u]) {
            continue;
        }

        // 遍历当前节点的邻居节点
        for (const Edge& edge : graph[u]) {
            int v = edge.first; // 邻居节点
            int weight = edge.second; // 边权重

            // 如果经过当前节点到达邻居节点的距离更短，则更新最短距离并加入队列
            if (dist[u] + weight < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + weight;
                pq.push({dist[v], v});
            }
        }
    }

    return dist;
}

int main() {
    int n = 5; // 图中节点的个数
    Graph graph(n); // 创建一个空的图

    // 添加边和边权重
    graph[0].push_back({1, 4});
    graph[0].push_back({2, 1});
    graph[1].push_back({4, 4});
    graph[1].push_back({3, 1});
    graph[2].push_back({1, 2});
    graph[2].push_back({3, 5});
    graph[3].push_back({4, 3});

    int start = 0; // 起始节点

    // 运行Dijkstra算法，计算起始节点到所有其他节点的最短距离
    vector shortestDist = Dijkstra(graph, start);

    // 输出结果
    cout << "Shortest distances from node " << start << " to all other nodes:\n";
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cout << "Node " << i << ": " << shortestDist[i] << endl;
    }

    return 0;
}