组合游戏总结——基本博弈问题
原文链接： http://www.cppblog.com/sdfond/archive/2010/02/06/107364.html
1. 二人博弈游戏，每个人都采用对自己最有利的策略，并且是两个人轮流做出决策
2. 在游戏中的任意时刻，每个玩家可选择的状态是固定的，没有随机成分
3. 游戏在有限步数内结束，没有平局出现
大部分的题目都满足上述条件，因此这里只讨论在上述条件范畴内的博弈问题。这类博弈问题，通常还有若干分类。一种是规定移动最后一步的游戏者获胜，这种规则叫做 Normal Play Rule；另一种是规定移动最后一步的游戏者输，这种规则叫做 Misere Play Rule，也称为Anti-SG游戏。此外，对于游戏的双方，如果二者博弈的规则相同，那么称为这类游戏是 对等(impartial games)的；否则称为 不平等游戏(partizan games )。当初WHU的那场比赛就是由于对于这个概念不是很清晰，导致看完题目之后就用SG定理来做，浪费了很多机时。实际上，解决不平等博弈问题的方法和普通的博弈问题（SG游戏）是有区别的，一般会采用动态规划或者surreal number。
【博弈基础知识】
在SG游戏中，最为人熟知的是必胜必败态，也叫NP态理论。注意的是，P态对应的是先手必败态，N态对应的是先手必胜态。必胜必败态理论是：
1. All terminal positions are P-positions
2. From every N-position, there is at least one move to a P-position
3. From every P-position, every move is to an N-position
英文的表述非常简洁清晰，而且这个理论也很好理解，如果在当前状态的下一步可以走到必败态，那么当前玩家就可以走到那个状态，把必败态推给另一方；如果所有可达状态都是必胜态，那么当前玩家无论如何走，都会把必胜态让给对方。根据必胜必败态理论，我们可以递归的求出每个状态是N态还是P态。必胜必败态理论其实已经把博弈问题转化成了一个有向图，借助图这个模型来分析问题，使得问题变得形象了许多。需要注意的是，这种SG游戏对应的有向图是无环的，因为如果有环，那么游戏双方就可能在环上不停的转换状态，游戏不能在有限步终止，这样就不满足组合游戏的特征3了。
然而在很多时候仅仅知道某个状态是必胜还是必败是不够的，因为如果存在多个组合游戏（比如经典的Nim），对应的状态集合非常大，无法直接利用必胜必败态理论求解，因此需要用到博弈论中一个很重要的工具：SG函数。
某个状态的SG函数值定义为当前状态所有不可达的状态编号中最小的编号，其中终止态的SG函数值是0。有了这个工具，就引入一个非常强大的定理——SG分解定理：
多个组合游戏的SG函数值是每个组合游戏的函数值的和。（这里的和定义为异或操作）
SG分解定理的证明不是很难，其实和Nim的证明很像。根据这个定理，我们就知道为什么Nim的解法是异或所有的石子个数了，因为每堆石子的SG值就是石子的个数。SG分解定理告诉我们任何SG游戏都可以转化成Nim游戏来做。
Nim中的一个变形就是拿走最后一块石子的人算输。通过修改SG的计算规则，可以得出相同的结论（因为当石子个数是1的时候SG值为0，因此要单独处理）；当然也可以利用一个叫做SJ定理的方法来做，依然是要处理当所有堆的SG值不大于1的情况。
【博弈基本模型】
除了Nim模型，很多模型都看似复杂，最后都划归到了Nim模型上，然后利用SG分解来做的。在证明两种模型等价的时候，可以通过计算SG值判断是否相同，或者通过判断必胜策略的走法将其转化为Nim。许多模型非常的神奇，其获胜策略又千差万别，因此无法一一列举，但是掌握一些经典模型是必须的，这样通过模型的转化可以简化问题的难度。
经典模型1：Nim变种。包括：
(1) 楼梯Nim。把奇数台阶的石子作为Nim，二者等价，因为必胜的策略是相同的。
(2) 每次可以取k堆，这个是经典的Moore Nim。它是泛化的Nim游戏。
(3) 两堆石子，每次可以取一堆或两堆，从两堆取得时候个数必须相同，谁先取完获胜。这个是著名的威佐夫博弈，跟黄金分割数有关，具体证明不是很清楚，但是用SG值打表可以找出规律。代码如下：
【概述】
最近的几次比赛，博弈的题目一直不少，而且博弈问题是一块比较复杂、庞大的内容，因此在这里小结一下，希望能够帮自己理清一些思路，争取也多来几个系列，呵呵。
1. 二人博弈游戏，每个人都采用对自己最有利的策略，并且是两个人轮流做出决策
2. 在游戏中的任意时刻，每个玩家可选择的状态是固定的，没有随机成分
3. 游戏在有限步数内结束，没有平局出现
大部分的题目都满足上述条件，因此这里只讨论在上述条件范畴内的博弈问题。这类博弈问题，通常还有若干分类。一种是规定移动最后一步的游戏者获胜，这种规则叫做 Normal Play Rule；另一种是规定移动最后一步的游戏者输，这种规则叫做 Misere Play Rule，也称为Anti-SG游戏。此外，对于游戏的双方，如果二者博弈的规则相同，那么称为这类游戏是 对等(impartial games)的；否则称为 不平等游戏(partizan games )。当初WHU的那场比赛就是由于对于这个概念不是很清晰，导致看完题目之后就用SG定理来做，浪费了很多机时。实际上，解决不平等博弈问题的方法和普通的博弈问题（SG游戏）是有区别的，一般会采用动态规划或者surreal number。
【博弈基础知识】
在SG游戏中，最为人熟知的是必胜必败态，也叫NP态理论。注意的是，P态对应的是先手必败态，N态对应的是先手必胜态。必胜必败态理论是：
1. All terminal positions are P-positions
2. From every N-position, there is at least one move to a P-position
3. From every P-position, every move is to an N-position
英文的表述非常简洁清晰，而且这个理论也很好理解，如果在当前状态的下一步可以走到必败态，那么当前玩家就可以走到那个状态，把必败态推给另一方；如果所有可达状态都是必胜态，那么当前玩家无论如何走，都会把必胜态让给对方。根据必胜必败态理论，我们可以递归的求出每个状态是N态还是P态。必胜必败态理论其实已经把博弈问题转化成了一个有向图，借助图这个模型来分析问题，使得问题变得形象了许多。需要注意的是，这种SG游戏对应的有向图是无环的，因为如果有环，那么游戏双方就可能在环上不停的转换状态，游戏不能在有限步终止，这样就不满足组合游戏的特征3了。
然而在很多时候仅仅知道某个状态是必胜还是必败是不够的，因为如果存在多个组合游戏（比如经典的Nim），对应的状态集合非常大，无法直接利用必胜必败态理论求解，因此需要用到博弈论中一个很重要的工具：SG函数。
某个状态的SG函数值定义为当前状态所有不可达的状态编号中最小的编号，其中终止态的SG函数值是0。有了这个工具，就引入一个非常强大的定理——SG分解定理：
多个组合游戏的SG函数值是每个组合游戏的函数值的和。（这里的和定义为异或操作）
SG分解定理的证明不是很难，其实和Nim的证明很像。根据这个定理，我们就知道为什么Nim的解法是异或所有的石子个数了，因为每堆石子的SG值就是石子的个数。SG分解定理告诉我们任何SG游戏都可以转化成Nim游戏来做。
Nim中的一个变形就是拿走最后一块石子的人算输。通过修改SG的计算规则，可以得出相同的结论（因为当石子个数是1的时候SG值为0，因此要单独处理）；当然也可以利用一个叫做SJ定理的方法来做，依然是要处理当所有堆的SG值不大于1的情况。
【博弈基本模型】
除了Nim模型，很多模型都看似复杂，最后都划归到了Nim模型上，然后利用SG分解来做的。在证明两种模型等价的时候，可以通过计算SG值判断是否相同，或者通过判断必胜策略的走法将其转化为Nim。许多模型非常的神奇，其获胜策略又千差万别，因此无法一一列举，但是掌握一些经典模型是必须的，这样通过模型的转化可以简化问题的难度。
经典模型1：Nim变种。包括：
(1) 楼梯Nim。把奇数台阶的石子作为Nim，二者等价，因为必胜的策略是相同的。
(2) 每次可以取k堆，这个是经典的Moore Nim。它是泛化的Nim游戏。
(3) 两堆石子，每次可以取一堆或两堆，从两堆取得时候个数必须相同，谁先取完获胜。这个是著名的威佐夫博弈，跟黄金分割数有关，具体证明不是很清楚，但是用SG值打表可以找出规律。代码如下：