8.Covector Transformation Rules

上一节已知,任意的协向量都可以写成对偶基向量的线性组合,以及如何通过计算基向量穿过的协向量线来获得协向量分量,且看到 协向量分量 以 与向量分量 相反的方式进行变换。
 

现要在数学上确认协向量变换规则是什么。

第一件事:弄清协向量本身是怎么转换的,

使用向量以便从旧基中获取新基,用旧基构建新基,这就是前向变换,

8.Covector Transformation Rules_第1张图片

现对协向量也同样如此,
8.Covector Transformation Rules_第2张图片

这里的Q是多少呢???

为计算出Q,
首先将\tilde \varepsilon ^{1}与e1进行相乘, 即 该方程的左右两边同时右乘e1,
得到:

        

\varepsilon ^{1} * e_{1} =1 , \varepsilon ^{2}* e_{1} =0, 故有:

                                        8.Covector Transformation Rules_第3张图片

类似的,

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于是得到:

鉴于此,进行 后向转换。 以便可根据新的基向量写出旧的基向量。

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把 这两个方程 代入到上面 那个方程。

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于是我们就能得到,如何通过旧的对偶基向量, 表达新的对偶基向量,

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同样的道理,可以通过该方式,计算得到:

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对比系数:
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这意味着,从旧的对偶基向量  到 新的对偶基向量,可以使用 后向转换。

接下来,尝试证明对于所有维度:

前提设置:

双基的定义:
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前向转换  和 后向转换(Forward、 Backward):

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        8.Covector Transformation Rules_第13张图片

另外,前向转换和后向转换是互逆的:        ​​​​​​​                
        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

开始

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当 j ≠ l 时,\delta _{jl} = 0, 故F_{lk}可以用F_{jk}代替,

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理解:\sum_{l=1}^{n}Q_{ij}F_{lk}\delta_{jl}中的l全部代入, 当 j ≠ l 时,\delta _{jl} = 0,仅\delta _{jj} = 1,1省略不写,
F_{lk}变为F_{jk},再结束l这个求和项。
得到的最后一个式子,最后一个式子的左边就是一个单位阵E,即右边两个东西互逆,而F与B又是互逆的,等量代换,。

所以,就是使用反向转换(Backward)使得 从旧对偶基 到 新对偶基。

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现在,就可以明白为什么视频的老师 把协向量的索引 写在顶部, 因为它们的变换与基向量的方式相反。

基向量 和  协向量 的变换规则  总结:
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现已知 基向量的转换方式, 想弄清它们的分量如何转换就比较容易,

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将某一协向量α写成 旧基协向量的线性组合,

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将最后一个等式  与 上面那个线性组合进行比较,

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同样地,
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注意,是以向量那个为本,其他的转换方式都与向量的来进行比较, 反就弄上标,同就下标。

Contravariant---逆变的,反变的。

Covariant 协变的,共变式。

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