Dijkstra求最短路（图解）
你好，我是Hasity。
今天分享的内容：Dijkstra求最短路这个题目
Dijkstra求最短路I
题目描述
给定一个 n个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出 1 号点到 n号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。
输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 −1。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。
示例：
思路分析
迪杰斯特拉算法采用的是一种贪心的策略。求源点到其余各点的最短距离步骤如下：
- 用一个 dist 数组保存源点到其余各个节点的距离，dist[i] 表示源点到节点 i 的距离。初始时，dist 数组的各个元素为无穷大。
用一个状态数组 state 记录是否找到了源点到该节点的最短距离，state[i] 如果为真，则表示找到了源点到节点 i 的最短距离，state[i] 如果为假，则表示源点到节点 i 的最短距离还没有找到。初始时，state 各个元素为假。
-
源点到源点的距离为 0。即dist[1] = 0。
-
遍历 dist 数组，找到一个节点，这个节点是：没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点。假设该节点编号为 i。此时就找到了源点到该节点的最短距离，state[i] 置为 1。
-
遍历 i 所有可以到达的节点 j，如果 dist[j] 大于 dist[i] 加上 i -> j 的距离，即 dist[j] > dist[i] + w[i][j]（w[i][j] 为 i -> j 的距离） ，则更新 dist[j] = dist[i] + w[i][j]。
- 重复 3 4 步骤，直到所有节点的状态都被置为 1。
更新与序号1相连接的节点(2,3,4)的dist，离源点1距离最近的状态为0的节点是2，将节点2的state改为1，更新与序号2相连接的节点5的dist
离源点1距离最近的状态为0的的节点是4，将节点4的state改为1，更新与序号4相连接的节点5的dist
离源点1距离最近的状态为0的的节点是3，将节点3的state改为1，更新与序号3相连接的节点4的dist
离源点1距离最近的状态为0的的节点是5，将节点5的state改为1，更新与序号5相连接的节点的的dist（没有也需要遍历一遍）
- 此时 dist 数组中，就保存了源点到其余各个节点的最短距离。
思考：我们用什么数据结构表示图的任意顶点之间的连接关系呢？
邻接表和邻接矩阵是图的两种常用存储表示方式，用于记录图中任意两个顶点之间的连通关系，包括权值。
对于无向图 graph和有向图digraph
- 选择一：邻接表
无向图 graph 表示
有向图 digraph 表示
- 选择二：邻接矩阵
无向图 graph 表示
有向图 digraph 表示
由题中的1≤n≤500的数据量较小，我们采用邻接矩阵的方法代码更容易实现
关于领接表的优缺点：大家可以看这一篇文章：
代码实现
import java.util.*;
public class Main{
static int N = 510,n,m, max = 0x3f3f3f3f;
static int[][] g = new int[N][N];//存每个点之间的距离
static int[] dist = new int[N];//存每个点到起点之间的距离
static boolean[] st = new boolean[N];//存已经确定了最短距离的点
public static int dijkstra(){
Arrays.fill(dist,max);//将dist数组一开始赋值成较大的数
dist[1] = 0; //首先第一个点是零
//从0开始,遍历n次，一次可以确定一个最小值
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
int t = -1; //t这个变量,准备来说就是转折用的
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++ ){
/***
* 因为数字是大于1的，所以从1开始遍历寻找每个数
* 如果s集合中没有这个数
* 并且t == -1，表示刚开始 或者 后面的数比我心找的数距离起点的距离短
* 然后将j 的值赋值给 t
***/
if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])){
t = j;
}
}
st[t] = true;//表示这个数是已经找到了确定了最短距离的点
//用已经确认的最短距离的点来更新后面的点
//就是用1到t的距离加上t到j的距离来更新从1到j的长度
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++ ){
//
dist[j] = Math.min(dist[j],dist[t] + g[t][j]);
}
}
//如果最后n的长度没有改变，输出-1，没有找到；否则输出最短路n
if(dist[n] == max) return -1;
else return dist[n];
}
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
n = scan.nextInt();
m = scan.nextInt();
//将他们每个点一开始赋值成一个较大的值
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
Arrays.fill(g[i],max);
}
while(m -- > 0){
int a = scan.nextInt();
int b = scan.nextInt();
int c = scan.nextInt();
g[a][b] = Math.min(g[a][b],c);//这个因为可能存在重边，所以泽出最短的
}
int res = dijkstra();
System.out.println(res);
}
}
Dijkstra求最短路 II
题目描述
给定一个 n个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出 1 号点到 n号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。
输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 −1。
数据范围
1≤n,m≤1.5×105
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 109。
示例：
思路分析
这道题和上一道没有什么区别，差别只有数据范围的变化
第一题：
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。第二题：
1≤n,m≤1.5×105
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 109。
我们可以对比发现，节点n的取值变大了，那么按照之前的时间复杂度O(n2)是肯定会超时的，所以我们需要降低时间复杂度，使用优先队列（小根堆）解决，并且随着n的取值变大，我们使用领接表来替代邻接矩阵存储图之间的关系
第一题：找到未标记的离源点最近的点 O(n2)
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
int t = -1; //t这个变量,准备来说就是转折用的
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++ ){
/***
* 因为数字是大于1的，所以从1开始遍历寻找每个数
* 如果s集合中没有这个数
* 并且t == -1，表示刚开始 或者 后面的数比我心找的数距离起点的距离短
* 然后将j 的值赋值给 t
***/
if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])){
t = j;
}
}
算法的主要耗时的步骤是从dist 数组中选出：没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点 t。只是找个最小值而已，没有必要每次遍历一遍dist数组。在一组数中每次能很快的找到最小值，很容易想到使用优先队列（小根堆）
代码实现
import java.util.*;
class PIIs implements Comparable{
private int first;//距离值
private int second;//点编号
public int getFirst()
{
return this.first;
}
public int getSecond()
{
return this.second;
}
public PIIs(int first,int second)
{
this.first = first;
this.second = second;
}
@Override
public int compareTo(PIIs o) {
// TODO 自动生成的方法存根
return Integer.compare(first, o.first);
}
}
public class Main{
static int N = 150010,n,m,idx,max = 0x3f3f3f3f;
static int [] h = new int[N],e = new int[N],ne = new int[N],w = new int[N];
static int[] dist = new int[N];
static boolean[] st = new boolean[N];
public static void add(int a,int b,int c){
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
public static int dijkstra()
{
//优先队列，保证每次取出都是最小值
//维护当前未在st中标记过且离源点最近的点 小跟堆
PriorityQueue queue = new PriorityQueue();
Arrays.fill(dist, max);
dist[1] = 0;
queue.add(new PIIs(0,1));
while(!queue.isEmpty())
{
//1、找到当前未在s中出现过且离源点最近的点
PIIs p = queue.poll();
int distance = p.getFirst();
int t = p.getSecond();
if(st[t]) continue;
//2、将该点进行标记
st[t] = true;
//3、用t更新其他点的距离
for(int i = h[t];i != -1;i = ne[i])//不要被这个遍历误导，这只是一个遍历循环而已，i只是下一个点的下标
{
int j = e[i];// i只是个下标，e中在存的是i这个下标对应的点和值。
if(dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
queue.add(new PIIs(dist[j],j));
}
}
}
if(dist[n] == max) return -1;
return dist[n];
}
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
n = scan.nextInt();
m = scan.nextInt();
Arrays.fill(h,-1);
while(m -- > 0){
int a = scan.nextInt();
int b = scan.nextInt();
int c = scan.nextInt();
add(a,b,c);
}
int res = dijkstra();
System.out.println(res);
}
}
总结
迪杰斯特拉算法适用于求正权有向图中，源点到其余各个节点的最短路径。注意：图中可以有环，但不能有负权边。
例如：如下图就不能使用迪杰斯特拉算法求节点 1 到其余各个节点的最短距离。
