博弈论

今天训练遇到博弈论，看了一下应该可以转化成nim游戏的模型，但是却打不出sg函数，看见全世界都过了，自己还不会，决定学一下sg函数。

摘自piaocoder的博客：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如
mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继},这里的g（x）即 sg[x]。

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
sg[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;
x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；
x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;
x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；
以此类推…
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8…
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1…
计算从1-n范围内的SG值。
f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)f[]需要从小到大排序1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步，SG(x) = x;
3.可选步数为一系列不连续的数，用getSG()计算

模板1如下（SG打表）：

---

//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[N];//可以取走的石子个数
int sg[N];//0~n的SG函数值
int Hash[N];
 
void getSG(int n){
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        memset(Hash,0,sizeof(Hash));
        for(int j = 1; f[j] <= i; j++)
            Hash[sg[i-f[j]]] = 1;
        for(int j = 0; j <= n; j++){    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
            if(Hash[j] == 0){
                sg[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
}

模板2如下（dfs）：

//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s[N],sg[N],n;
bool vis[N];
int dfs_SG(int x){
    if(sg[x] != -1)
        return sg[x];
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        if(x >= s[i]){
            dfs_SG(x-s[i]);
            vis[sg[x-s[i]]] = 1;
        }
    }
    for(int i = 0;; ++i){
        if(!vis[i]){
            e = i;
            return sg[x] = i;
        }
    }
}

gym 101908B Marbles 博弈论SG函数
http://codeforces.com/gym/101908/problem/B

题目大意：
一个100*100的棋盘，坐标范围是[0, 100]的，上面有n个棋子。Alice 和 Bob轮流操作，每次操作可以把一枚棋子向左或者向下或者向斜下方移动任意步，也就是(x,y) 有这三种移动(x-l, y), (x, y-l), (x-l, y-l)。多个棋子可以同时在同一位置。第一个把棋子移动到(0, 0)点的人获胜。 问是否先手必胜。
AC代码

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