算法3:时间复杂度

概念

时间复杂度： 一个语句的频度是指该语句在算法中被重复执行的次数。算法中所有语句的频度之和记为T(n), 它是该算法问题规模n的函数，时间复杂度主要分析T(n)的数量级。算法中基本运算（最深层循环内的语句）的频度与T(n)同数量级，因此通常采用算法中的基本运算的频度f(n)来分析算法的时间复杂度。因此，算法的时间复杂度记为
T(n) = O(f(n))

void fun(int n) {
  int i = 1;
  while(i <= n)
      i = i*2;
}

思路：找出基础运算 i = i*2 设执行次数为t，则2的t次方<= n, t <= log以2为底的n次，因此时间复杂度为：

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x=2;
while(x

思路：基本运算（执行频率最高的语句）为x=2x, 每执行一次x乘2，这里的x又为2，第一次是22，第二次是222， 依次类推，设执行次数为t，则有2的（t+1）次 < n/2，

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int fact(int n) {
  if(n = 1) return 1;
  return n*fact(n-1);
}

思路：这个就是求阶乘n！的递归代码，即n(n-1)......*1, 每次递归调用时fact()的参数减1，递归出口为fact(1), 一共执行n次递归调用fact(), 故T(n) = O(n)

count = 0;
for(k = 1; k <= n; k*=2)
  for(j = 1; j <= n; j++)
      count++;

思路：我们知道嵌套循环的时间复杂度是两个相乘，这里不难理解，在外层的循环中，执行一次，内层就要执行一整个循环，如例题中，k为1的时候，内层循环j 用从1到n。
所以这道题先看内层，j从1到n 时间复杂度就是O(n), 外层 基础运算 k = k*2，设执行次数t，则2的t次方<=n, t <= log以2为底的n次，第一层和第二层时间复杂度相乘

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int func(int n){
  int i = 0, sum = 0;
  while(sum < n) sum += ++i;
  return i;
}

思路： 这里用到了小学知识（其实已经忘了）的等差数列之和，从1加到n的和，和=（首项+末项）×项数÷2， 不难看出以上就是从 0+1+2+3+4+...i = (1+i)i/2, 可知道循环次数t满足(1+t)t/2 < n, 因此时间复杂度为：

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void fun(int n){
    int i = 0;
    while(i*i*i*i <= n)
        i++;
}

思路：基本运算为i++，设执行的次数为t次，则ttt <= n, t的三次方<=n

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for( i = n-1; i > 1;i--)
  for(j = 1; j < i; j++)
      if(A[j] > A[j+1])
          A[j] 与 A[j+1] 对换

最后一行语句的频度在最坏情况下是？
思路：这是一个典型的冒泡排序，当n足够大的时候可以忽略常数，所以最坏的情况下：

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以下m++执行的次数是？

int m =0, i, j
for(i = 1; i <= n; j++)
  for(j = 1; j<= 2* i; j++)
      m++

m++语句的执行次数：

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x=0;
while(n>= (x+1)*(x+1))
    x = x+1 

思路：假设第k次循环终止，则第k次执行时，(x+1)的平方 > n, x的初始值为0，第k次判断时，x = k - 1， 即k的平方>n, k > 根号n, 所以：

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