P4389 付公主的背包

传送门:洛谷

解题思路:

不难看出是一道完全背包题,但是因为数据范围较大,所以背包方法是不可做的.

考虑使用生成函数的方法来解这道题.

不难写出每一个物品的生成多项式:$$1+x^{vi}+x^{2\ast vi}+...+x^{\infty \ast vi}$$

这是一道经典式子,我们可以将其求和为一个函数$$\frac{1}{1-x^{vi}}$$

所以我们最终的答案式子的生成函数就是:$$F=\prod _{i=1}^n\frac{1}{1-x^{vi}}$$

我们现在需要将这个式子展成一个多项式,使用一个小技巧,将左右两边同时取$ln$
$$lnF=\sum _{i=1}^{n}ln\frac{1}{1-x^{vi}}$$ $$lnF=-\sum _{i=1}^{n}ln(1-x^{vi})$$
此时我们还需要将$ln$式子展开为一个多项式
考虑运用泰勒展开式,直接展开求n阶导有点麻烦:

我们有一个经典结论:$ln(1-x)={\sum }_{i=1}^n\frac{-x^i}{i}$

所以此时$ln(1-x^{vk})={\sum }_{i=1}^n\frac{-x^{vk\ast i}}{i}$

所以此时$lnF={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{k=1}^n\frac{x^{vi\ast k}}{k}$

此时不难看出右边的式子我们可以拿类似欧拉筛的处理方式来处理,复杂度时$nlogn$的

但是此时存在一个问题,就是当我们的$vi$有很多重复时,我们右边的复杂度就会假,所以对于重复的数字,我们需要进行一个离散化的操作.这个方法也不麻烦,就是在右边乘上一个$vi$的数量即可.

此时本题就算解决了.处理出右边的式子之后再$EXP$一下就行.

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下面是具体的代码部分:

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1,n,1
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
inline ll read() {
	ll x=0,w=1;char ch=getchar();
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}
inline void print(__int128 x){
	if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
#define maxn 1000000
#define int long long
const int mod=998244353;
const double eps=1e-8;
#define	int_INF 0x3f3f3f3f
#define ll_INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
int qpow(int a,int b) {
	int ans=1;
	while(b) {
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		b>>=1;
		a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}
int rev[maxn];
void NTT(int *a,int n,int inv) {
	for(int i=0;i<=n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int len=1;len<=(n>>1);len<<=1) {
		int gn=qpow(inv==1?3:qpow(3,mod-2),(mod-1)/(len<<1));
		for(int i=0;i<=n;i+=(len<<1)) {
			int g0=1;
			for(int j=0;j<=len-1;j++) {
				int x=a[i+j],y=a[i+j+len]*g0%mod;
				a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+len]=((x-y)%mod+mod)%mod;
				g0=g0*gn%mod;
			}
		}
	}
}
int temp[maxn];
void INV(int *a,int *b,int deg) {
	if(deg==1) {
		b[0]=qpow(a[0],mod-2);return ;
	}
	INV(a,b,(deg+1)>>1);
	for(int i=0;i<deg;i++) temp[i]=a[i];
	int limit=1,len=0;
	while(limit<=deg-1+deg-1) limit<<=1,len++;
	for(int i=0;i<=limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	NTT(temp,limit,1);NTT(b,limit,1);
	for(int i=0;i<=limit;i++) {
		b[i]=((2*b[i]-temp[i]*b[i]%mod*b[i]%mod)%mod+mod)%mod;
	}
	NTT(b,limit,-1);
	int inv=qpow(limit,mod-2);
	for(int i=0;i<=limit;i++) {
		b[i]=b[i]*inv%mod;
	}
	for(int i=deg;i<=limit;i++) b[i]=0; 
	for(int i=0;i<=limit;i++) temp[i]=0;
}
void DIFF(int *a,int *b,int deg) {
	for(int i=0;i<deg-1;i++) {
		b[i]=a[i+1]*(i+1)%mod;
	}
	b[deg-1]=0;
}
void INTE(int *a,int *b,int deg) {
	b[0]=0;
	for(int i=1;i<=deg;i++) {
		b[i]=a[i-1]*qpow(i,mod-2)%mod;
	}
}
int DIFF_LN[maxn],INV_LN[maxn],MUL_LN[maxn];
void LN(int *a,int *b,int deg) {
	INV(a,INV_LN,deg);DIFF(a,DIFF_LN,deg);
	int limit=1,len=0;
	while(limit<=deg-1+deg-1) limit<<=1,len++;
	for(int i=0;i<=limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	NTT(INV_LN,limit,1);NTT(DIFF_LN,limit,1);
	for(int i=0;i<=limit;i++) {
		MUL_LN[i]=INV_LN[i]*DIFF_LN[i]%mod;
	}
	NTT(MUL_LN,limit,-1);
	int inv=qpow(limit,mod-2);
	for(int i=0;i<=limit;i++) {
		MUL_LN[i]=MUL_LN[i]*inv%mod;
	}
	INTE(MUL_LN,b,deg);
	for(int i=0;i<=limit;i++) {
		DIFF_LN[i]=INV_LN[i]=MUL_LN[i]=0;
	}
}
int LN_EXP[maxn];int temp2[maxn];
void EXP(int *a,int *b,int deg) {
	if(deg==1) {b[0]=1;return ;}
	EXP(a,b,(deg+1)>>1);
	for(int i=0;i<deg;i++) temp2[i]=a[i];
	int limit=1,len=0;
	while(limit<=deg-1+deg-1) limit<<=1,len++;
	for(int i=0;i<=limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	LN(b,LN_EXP,deg);
	NTT(temp2,limit,1);NTT(LN_EXP,limit,1);NTT(b,limit,1);
	for(int i=0;i<=limit;i++) b[i]=b[i]*((1-LN_EXP[i]+temp2[i])%mod+mod)%mod;
	NTT(b,limit,-1);
	int inv=qpow(limit,mod-2);
	for(int i=0;i<=limit;i++) b[i]=b[i]*inv%mod;
	for(int i=deg;i<=limit;i++) b[i]=0;
	for(int i=0;i<=limit;i++) temp2[i]=LN_EXP[i]=0;
}
int f[maxn],g[maxn];unordered_map<int,int>mp;
signed main() {
	int n=read();int m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int num=read();
		mp[num]++;
	}
	for(auto it:mp) {
		int i=it.first;
		for(int j=1;j*i<=m;j++) {
			f[i*j]+=it.second*qpow(j,mod-2)%mod;
			f[i*j]%=mod;
		}
	}
	EXP(f,g,m+1);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		cout<<g[i]<<endl;
	}
	return 0;
}