超基础算法:二分查找法

简介

二分法是五大基础算法中分治算法的一种,按照分治算法分而治之的思想,二分法的思路很简单,即:

  1. 将区间从中分为两部分,判断查找元素属于哪一部分。
  2. 更新区间,重复第一步。直到将区间缩小到只有一个元素为止。

二分查找法在实际使用中局限性比较大,二分查找法必须遵循以下要求:

  1. 必须采用顺序存储结构,如数组或链表。集合是不行的。
  2. 必须有序排列,即在存储时就按照顺序排列。

举例

如:一个10位的数组,按顺序存放字母a~z中任意10个字母,其中包含字母x。按照二分法找字母x。

a c d f j l n q x z

首先找到数组中间的元素j(j或l都行,以取j为例),j小于x,元素按照顺序存储在数组里,那么x应该在j-z之间。

  1. 取j~z中间的元素n,n依然小于x。
  2. 取n~z中间的元素q,q小于x。
  3. 取q~z中间的元素,查找到了x。

以上是二分查找法的简单例子。如果使用代码实现,需要用到递归。那么难点在于:

  • 如何确定终止条件;
  • 当中位数有两个时,取哪个;
  • 当最后一个区间仅有两个元素时,如何取到正确的值;

应用

这里有个例子:

寻找重复数:

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums,其数字都在 1 到 n 之间(包括 1 和 n),可知至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的整数,找出这个重复的数。

示例 1:

输入: [1,3,4,2,2]
输出: 2

来源:力扣(LeetCode)
链接:原题链接

思路:

从题目中可以提炼出以下条件:

  • 只有一个重复的数;
  • 所有的数都在n范围内;
  • 一共有n+1个元素;

题目只要求查找出重复元素的数值,而不在乎元素的位置,那么可以使用二分法来查找。

因为所有元素都在1~n之间,且仅有一个元素重复,假设没有这个重复的数,那么这个数组中小于n/2的元素个数与大于n/2的元素个数应该是相同的。如果加上这个数,那么就打破了这个平衡,可以以此判断这个数是属于大于n/2的区间还是小于n/2的区间。

以此为关键进行迭代,最终得出这个重复元素的值。

代码:

package leetcode;


public class FindDuplicate {
    int num = 0;
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        int minLine = 1;
        int maxLine = nums.length-1;
        dichotomySearch(minLine,maxLine,nums);
        return num;
    }

    public void dichotomySearch(int minLine,int maxLine,int[] nums) {
        int flag = 0;
        int median = (minLine + maxLine)/2;

        //only two number
        if(minLine==maxLine-1||minLine==maxLine){
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                if (nums[i]==minLine){
                    flag++;
                }
            }
            if (flag>1){
                num = minLine;
            }else {
                num = maxLine;
            }
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (nums[i] < median && nums[i]>=minLine){
                flag--;
            }
            if (nums[i] > median && nums[i]<=maxLine){
                flag++;
            }
        }
        if (flag<=0){
            maxLine = median;
            dichotomySearch(minLine,maxLine,nums);
        }else {
            minLine = median;
            dichotomySearch(minLine,maxLine,nums);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums =  {1,1};
        FindDuplicate findDuplicate = new FindDuplicate();
        System.out.println(findDuplicate.findDuplicate(nums));
    }
}

 

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