数据结构：平衡二叉树

平衡二叉树

平衡二叉树，又称为AVL树。实际上就是遵循以下两个特点的二叉树：

• 每棵子树中的左子树和右子树的深度差不能超过 1；
• 二叉树中每棵子树都要求是平衡二叉树；

其实就是在二叉树的基础上，若树中每棵子树都满足其左子树和右子树的深度差都不超过 1，则这棵二叉树就是平衡二叉树。

图 1 平衡与不平衡的二叉树及结点的平衡因子

平衡因子：每个结点都有其各自的平衡因子，表示的就是其左子树深度同右子树深度的差。平衡二叉树中各结点平衡因子的取值只可能是：0、1和-1。

如图1所示，其中 （a） 的两棵二叉树中由于各个结点的平衡因子数的绝对值都不超过1，所以 （a） 中两棵二叉树都是平衡二叉树；而 （b） 的两棵二叉树中有结点的平衡因子数的绝对值超过1，所以都不是平衡二叉树。

二叉排序树转化为平衡二叉树

为了排除动态查找表中不同的数据排列方式对算法性能的影响，需要考虑在不会破坏二叉排序树本身结构的前提下，将二叉排序树转化为平衡二叉树。

例如，在对查找表{13，24，37，90，53}构建二叉排序树时，当插入13和24时，二叉排序树此时还是平衡二叉树：

图 2 平衡二叉树

当继续插入37时，生成的二叉排序树如图3（a），平衡二叉树的结构被破坏，此时只需要对二叉排序树做“旋转”操作（如图3（b）），即整棵树以结点24为根结点，二叉排序树的结构没有破坏，同时将该树转化为了平衡二叉树：

图 3 二叉排序树变为平衡二叉树的过程

当二叉排序树的平衡性被打破时，就如同扁担的两头出现了一头重一头轻的现象，如图3（a）所示，此时只需要改变扁担的支撑点（树的树根），就能使其重新归为平衡。实际上图 3 中的 （b） 是对（a） 的二叉树做了一个向左逆时针旋转的操作。

继续插入90和53后，二叉排序树如图4（a）所示，导致二叉树中结点24和37的平衡因子的绝对值大于1，整棵树的平衡被打破。此时，需要做两步操作：

1. 如图4（b）所示，将结点53和90整体向右顺时针旋转，使本该以90为根结点的子树改为以结点53为根结点；

2. 如图4（c）所示，将以结点37为根结点的子树向左逆时针旋转，使本该以37为根结点的子树，改为以结点53为根结点； 图 4 二叉排序树转化为平衡二叉树

   

做完以上操作，即完成了由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。

当平衡二叉树由于新增数据元素导致整棵树的平衡遭到破坏时，就需要根据实际情况做出适当的调整，假设距离插入结点最近的“不平衡因子”为 a。则调整的规律可归纳为以下4种情况：

• 单向右旋平衡处理： 图 5 单向右旋

  若由于结点a的左子树为根结点的左子树上插入结点，导致结点a的平衡因子由1增至2，致使以a为根结点的子树失去平衡，则只需进行一次向右的顺时针旋转，如下图这种情况：

  

• 单向左旋平衡处理：

  如果由于结点a的右子树为根结点的右子树上插入结点，导致结点a的平衡因子由-1变为-2，则以a为根结点的子树需要进行一次向左的逆时针旋转，如下图这种情况：

  

• 双向旋转（先左后右）平衡处理： 图 7 双向旋转（先左后右）

  如果由于结点a的左子树为根结点的右子树上插入结点，导致结点a平衡因子由1增至2，致使以a为根结点的子树失去平衡，则需要进行两次旋转操作，如下图这种情况：

  

注意：图 7 中插入结点也可以为结点C的右孩子，则（b）中插入结点的位置还是结点C右孩子，（c）中插入结点的位置为结点A的左孩子。

• 双向旋转（先右后左）平衡处理： 图 8 双向旋转（先右后左）

  如果由于结点a的右子树为根结点的左子树上插入结点，导致结点a平衡因子由-1变为-2，致使以a为根结点的子树失去平衡，则需要进行两次旋转（先右旋后左旋）操作，如下图这种情况：

  

  注意：图8中插入结点也可以为结点C的右孩子，则（b）中插入结点的位置改为结点B的左孩子，（c）中插入结点的位置为结点B的左孩子。

在对查找表{13，24，37，90，53}构建平衡二叉树时，由于符合第4条的规律，所以进行先右旋后左旋的处理，最终由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。

构建平衡二叉树的代码实现

//分别定义平衡因子
#define LH +1
#define EH 0
#define RH -1

typedef struct BSTNode{
    int data;
    int bf;
    BSTNode *lchild, *rchild;
}BSTNode, *BSTree;
//对以T为根结点的二叉树做右旋处理，令T指针指向新的根结点

void R_Rotate(BSTree *T){
    BSTree lc = (*T)->lchild;
    (*T)->lchild = lc->rchild;
    lc->rchild = *T;
    *T = lc;
}
//对以T为根结点的二叉树做左旋处理，令T指针指向新的根结点
void L_Rotate(BSTree *T){
    BSTree rc = (*T)->rchild;
    (*T)->rchild = rc->lchild;
    rc->lchild = *T;
    *T = rc;
}
//对以指针 T 所指向结点为根结点的二叉树作左子树的平衡处理，令指针 T 指向新的根结点
void LeftBalance(BSTree *T){
    BSTree lc, rd;
    lc = (*T)->lchild;
    //查看以 T 的左子树为根结点的子树，失去平衡的原因，如果 bf 值为 1 ，则说明添加在左子树为根结点的左子树中，需要对其进行右旋处理；反之，如果 bf 值为 -1，说明添加在以左子树为根结点的右子树中，需要进行双向先左旋后右旋的处理
    switch (lc->bf) {
        case LH:
            (*T)->bf = lc->bf = EH;
            R_Rotate(T);
            break;
        case RH:
            rd = lc->rchild;
            switch (rd->bf) {
                case LH:
                    (*T)->bf = RH;
                    lc->bf = EH;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = lc->bf = EH;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf = EH;
                    lc->bf = LH;
                    break;
            }
            rd->bf = EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild);
            R_Rotate(T);
            break;
    }
}
//右子树的平衡处理同左子树的平衡处理完全类似
void RightBalance(BSTree* T)
{
    BSTree lc,rd;
    lc= (*T)->rchild;
    switch (lc->bf)
    {
        case RH:
            (*T)->bf = lc->bf = EH;
            L_Rotate(T);
            break;
        case LH:
            rd = lc->lchild;
            switch(rd->bf)
            {
                case LH:
                    (*T)->bf = EH;
                    lc->bf = RH;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = lc->bf = EH;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf = EH;
                    lc->bf = LH;
                    break;
            }
            rd->bf = EH;
            R_Rotate(&(*T)->rchild);
            L_Rotate(T);
            break;
    }
}

int InsertAVL(BSTree *T, int key, bool *taller){
    if ((*T) == NULL){//如果本身为空树，则直接添加key为根结点
        (*T) = new BSTNode;
        (*T)->bf = EH;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        (*T)->data = key;
        *taller = true;
    }
    else if ((*T)->data == key){//若二叉排序树中存在关键字key，则不做任何处理
        *taller = false;
        return 0;
    }
    else if ((*T)->data > key){//若关键字小于结点T的数据域，则插入到T的左子树
        if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, key, taller)) return 0;//若插入不影响树的平衡，则直接结束
        if (*taller){
            //判断根结点 T 的平衡因子是多少，由于是在其左子树添加新结点的过程中导致失去平衡，所以当 T 结点的平衡因子本身为 1 时，需要进行左子树的平衡处理，否则更新树中各结点的平衡因子数
            switch ((*T)->bf) {
                case LH:
                    LeftBalance(T);
                    *taller = false;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = LH;
                    *taller = true;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf =EH;
                    *taller = false;
                    break;
            }
        }
    }
    else {
        //同样，当 key>T->data 时，需要插入到以 T 为根结点的树的右子树中，同样需要做和以上同样的操作
        if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, key, taller)) return 0;
        if (*taller){
            switch ((*T)->bf) {
                case LH:
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = false;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = RH;
                    *taller = true;
                    break;
                case RH:
                    RightBalance(T);
                    *taller = false;
                    break;
            }
        }
    }
    return 1;
}
//判断现有平衡二叉树中是否依据具有关键字key的结点
bool FindNode(BSTree T, int key, BSTree *pos){
    BSTree p = T;
    (*pos) = NULL;
    while (p){
        if (p->data == key){
            (*pos) = p;
            return true;
        }
        else if (p->data > key) p = p->lchild;
        else p = p->rchild;
    }
    return false;
}
//中序遍历
void InorderTra(BSTree T){
    if (T->lchild) InorderTra(T->lchild);
    cout << T->data << " ";
    if (T->rchild) InorderTra(T->rchild);
}

int main(){
    int a[9] = {1, 23, 45, 34, 98, 9, 4, 35, 23};
    BSTree root = NULL, pos;
    bool taller;
    for (int i = 0; i < 9; i++){
        InsertAVL(&root, a[i], &taller);
    }
    if (FindNode(root, 45, &pos)) cout << pos->data << endl;
    InorderTra(root);
    return 0;
}

总结

使用平衡二叉树进行查找操作的时间复杂度为O(logn)。

在平衡失衡后，不管如何旋转其目的都是为了1.降低高度；2.保持二叉树的性质。所以我们可以将三个结点的关键字进行“比较”中间值为根结点，最小值为左子树，最大值为右子树，如图所示。