解密01背包问题：如何在有限空间中实现最大价值？

01背包 - 问题分析

01背包是指在一个有容积限制（或者重量限制）的背包中放入物品，物品拥有体积、重量和价值等属性。需要求一种满足背包限制的放置物品的方式，使得背包中物品的价值之和最大。比如有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

在01背包问题中，每种物品仅有一件，可以选择放或不放。这是背包问题中最简单的一种，也是动态规划的经典问题之一。

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• 在下面的讲解中，我举一个例子：

背包最大重量为5.
物品为：

• 问背包能背的物品最大价值是多少？

此时发现物品1 + 物品3 的重量为3 价值为14。 此时这是我们最大价值

• 若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品是多少?

此时发现物品1 + 物品3 的重量为3 价值为14. 但是重量没有恰好装满，不符合题意.
我们在看物品2 + 物品3 的重量为5,价值为9. 重量恰好装满，且是我们这里的最大价值

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01背包题目

【模板】01背包_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

动规五部曲分析:

1. 分析状态表示
2. 分析状态转移方程
3. 初始化
4. 填表顺序
5. 返回值

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第一问

• 问背包能背的物品最大价值是多少

1. 状态表示

我们看看这个状态表示

dp[i] 表示: 从前 i 个物品中选，所有选法中，能挑选出来的最大价值.

相信很多同学第一时间是想出的是这个状态表示，但你们仔细想一下，我们的体积呢？这个状态表示体积可能会超出题目给定的范围，所有这个状态表示是错.我们必须换一种状态表示，我们换一个二维的数组，加多一维表示体积.

dp[i][j] 表⽰：从前 i 个物品中挑选，总体积「不超过J」 ，所有的选法中，能挑选出来的最⼤价值。

v表示体积，w表示价值

要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

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2. 分析状态转移方程

• 线性 dp 状态转移⽅程分析⽅式，⼀般都是根据「最后⼀步」的状况，来分情况讨论：

1. 如果不放第i个物品的值

最后⼀步如果不选第 i 个物品.相当于就是去前 i - 1 个物品中挑选，并且总体积不超过 j
其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。

2. 如果选择第i个物品

那么我就只能去前 i - 1 个物品中，挑选总体积不超过 j - v[i]的物品,。此时 dp[i][j] = dp[i - 1][j - v[i]] + w[i] 。因此需要特判⼀下 j >= v[i]，因为要留⾜够的体积装这个第 i 个物品。综上，状态转移⽅程为： dp[i][j] = max(dp[i 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] +w[i])

如果没看懂回顾一下状态表示， dp[i][j] 表⽰：从前 i 个物品中挑选，总体积「不超过J」 ，所有的选法中，能挑选出来的最⼤价值。

综上，状态转移⽅程为：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]) ,但需要特判一下 dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])` 是否存在.

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3. 初始化

• 初始化的意义就是让我填表时候不越界,需要我们需要对边界条件处理一下.

我们多加⼀⾏，⽅便我们的初始化

1. 第一个位置

i 是物品 ，从 0 号位置开始选，但是没有 0 号位置，因为物品是从 1 到 n的，所有填 0。

2. 第一行

从 0 号位置开始选，容量不超过 0，此时仅需将第⼀⾏初始化为 0 即可。因为什么也不选，也能满⾜体积不⼩于 j 的情况，此时的价值为 0 。

3. 我们讨论第 0 竖的情况，讨论 j，容量不超过 0，物品总是有体积，所以全部都不
   选，初始化成 0.
   

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4. 填表顺序

根据「状态转移⽅程」，我们仅需「从上往下」填表即可。

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5. 返回值

我们看看状态转移⽅程
从前 i 个物品中挑选，最⼤价值总体积不超过 j，所有的选法中，能挑选出来的最⼤价值。根据「状态表⽰」，返回 dp[n][V] 。

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第二问

• 若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品是多少?

其实第⼆问仅需微调⼀下 dp 过程的五步即可。

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1. 状态表示

还是跟之前一样

dp[i][j] 表⽰：从前 i 个物品中挑选，总体积正好等于 j ，所有的选法中，能挑选出来的最⼤价值。

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2. 状态转移⽅程

• 线性 dp 状态转移⽅程分析⽅式，⼀般都是根据「最后⼀步」的状况，来分情况讨论：

我们的dp[i-1][j]不一定存在 , 因为有可能凑不⻬ j 体积的物品，因此我们把不合法的状态设置为 -1 。不能等于0，因为0是代表没有物品选.

• 其实分析情况跟第一问差不多，但是要注意细节

1. 如果不放第i个物品的值

最后一步如果不选第i个物品.相当于就是去前 i - 1 个物品中挑选此时, 这个无需判断是否是-1，因为在dp[i][j]这种情况是一定存在的，所有我们的dp[i][j]可以先等于dp[i-1][j] .如果dp[i-1][j]是等于-1的话,那没关系，你选不了我也选不了，你从i-1个物品想凑成一个j，我这种情况也凑不成j，所有不用判断 dp[i][j] = dp[i -1][ j ]

2. 如果选择第i个物品

在使⽤ dp[i][j - v[i]] 的时候，不仅要判断 j >= v[i] ，⼜要判断 dp[i][j -
v[i]] 表⽰的情况是否合法，也就是 dp[i][j - v[i]] != -1 。

综上，状态转移⽅程为：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]) ,但是在使⽤ dp[i - 1][j - v[i]] 的时候，要判断 j >= v[i] ，因为要留⾜够的体积装这个第 i 个物品。,⼜要判断 dp[i - 1][j - v[i]] 表⽰的情况是否合法，也就是 dp[i - 1][j - v[i]] != -1

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3. 初始化

• 初始化的意义就是让我填表时候不越界,需要我们需要对边界条件处理一下.

跟之前一样我们多加⼀⾏，⽅便我们的初始化

1. 第一个位置

跟之前一样第一个物品是0的位置，容量为0，正好不选就可以了，所有初始化成0.

2. 第一行

没有物品想凑成容量为1-n 那是不可能的，因为没有物品哪里的体积，那就是非法的，所有填-1

3. 我们讨论第 0 竖的情况, 这个状态可以根据状态转移方程推导而出,当然判断条件j ≥ v[i] 为false不会进去

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4. 填表顺序

根据状态转移⽅程，我们仅需从上往下填表即可。

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5. 返回值

我们看看状态转移⽅程
从前 i 个物品中挑选，最⼤价值总体积不超过 j，所有的选法中，能挑选出来的最⼤价值。根据「状态表⽰」，返回 dp[n][V] 。但是由于最后可能凑不成体积为 V 的情况，因此返回之前需要「特判」⼀下。

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C++运行代码

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, V, v[N], w[N];
int dp[N][N];
int main()
{
    // 读⼊数据
    cin >> n >> V;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];

    // 解决第⼀问
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= V; j++) // 修改遍历顺序
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (j >= v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    cout << dp[n][V] << endl;


    // 解决第⼆问
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    for (int j = 1; j <= V; j++) dp[0][j] = -1; //初始化


    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= V; j++) // 修改遍历顺序
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (j >= v[i] && dp[i - 1][j - v[i]] != -1)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    //由于最后可能凑不成体积为 V 的情况，因此返回之前需要特判⼀下。
    cout << (dp[n][V] == -1 ? 0 : dp[n][V]) << endl;
    return 0;
}