如何根据自相关（ACF）图和偏自相关（PACF）图选择ARIMA模型的p、q值

这两天有朋友在之前这篇文章 的时候在下面评论询问如何通过自相关（ACF）和偏自相关（PACF）图找到p、q值？这里掌柜就详细阐述一下。

PS：假设你已经知道AR、MA、以及ARIMA模型是什么。
PPS: 假设这里也已经做了差分，时间序列已经平稳。
PPPS：如果不想看前面的解释，那么请直接跳到最后看确定方法。如果你觉得本文有理解错误的地方，请指出来，谢谢。

• 首先，ACF图和PACF图分别指的是什么？

  • ACF图：

    • 需要先了解一个概念：Autocorrelation Function (ACF)自相关函数，指任意时间 t（t=1,2,3…n)的 序列值X_t 与其自身的滞后（这里取滞后一阶，即lag=1）值X_t-1之间的线性关系。
    • 这里有个简单的示例，可以更形象的解释X_t与X_t-1的变化：
      

    那么ACF图就是指以滞后值（上图就是滞后值为 1阶）为x轴，自相关系数（X_t与X_t-1的相关系数值）为y轴画出的图，也叫做相关图。

  • PACF图：同样PACF可以看下图更易理解：

    • 所以PACF图就是部分相关图。

• 其次，为什么在PACF截尾，ACF拖尾的情况下，PACF更适合确定AR模型（p值）；而在ACF截尾，PACF拖尾的情况下，ACF更适合确定MA模型（q值）？

  • 先看这样一个传悄悄话的例子：
    
    我们可以看到，从 “红色” 衣服那个人开始，传递信息就已经被彻底打乱；PACF意义在于，从红色这个点切开，之前的蓝色和黄色参与者传递的语句还保留了原来悄悄话的大意，而红色之后就无意义。

    回到AR模型这里，理论上PACF“关闭”了原始模型的顺序。这里的 “关闭” 指理论上自“关闭点”之后的这部分自相关都等于0。换句话说，那非0部分的自相关则给出了AR模型的顺序。 所以在PACF截尾的情况下，PACF图可以用来更好的确定AR模型。

  • 对于MA模型来说，PACF理论上不会关闭，只会以某种方式逐渐趋于0。所以这个时候要看ACF，因为仅含滞后阶数的模型的自相关是平均移动的。正如上面那个悄悄话的传递，黄色参与者说的“CV is cool”同绿色参与者说的“Naomi has a pool”是同样押韵的。

• 最后，如何用PACF图和ACF图来确定p、q值？

  • 首先需要通过PACF和ACF这两个图来判断是哪种模型，方法如下：

	AR ( p)	MA(q)	ARMA(p,q)
ACF	拖尾	q阶后截断	拖尾
PACF	p阶后截断	拖尾	拖尾

• 然后当确定是什么模型后，再看上面的阶数和2倍标准差范围，就能找到对应p、q值。
  下面看几个示例图，首先是一个AR模型的（对，就是上篇博客里的那个）：
  
  可以看到ACF是一个逐渐趋于0的拖尾，而PACF在7阶过后系数为0，所以模型是AR(7)或AR(8)，即ARMA(7,0）或ARMA（8,0)。备选模型ARMA(7,1）。
  再看一个MA模型的例子：
  
  只找到这样的图，可以看到PACF是拖尾，ACF自1阶过后都落在2倍标准差范围内，所以是MA(1)模型。
  最后看一个ARMA模型的例子：
  
  ACF和PACF都呈现拖尾，在1阶位置就开始基本落在2倍标准差范围，所以是ARMA(1,1)模型。

参考资料：
How does ACF & PACF identify the order of MA and AR terms?
Autoregressive Moving Average (ARMA): Sunspots data
Lesson 3: Identifying and Estimating ARIMA models; Using ARIMA models to forecast future values
ARIMA模型的拖尾截尾问题