《从掷骰子到阿尔法狗：趣谈概率》

《从掷骰子到阿尔法狗：趣谈概率》试读：5. 赌徒谬误：赌博与大数定律
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先讲一个赌场捞金的故事。
很多人都听说过概率或统计中的蒙特卡罗（Monte-Carlo）方法，说白了就是利用大量数据在统计的基础上进行计算的方法。蒙特卡罗不是人名，是法国边上一个袖珍小国摩纳哥中著名赌场的名字。自从蒙特卡罗赌场于1865年开张后，摩纳哥从一个穷乡僻壤的弹丸之地，一跃而为欧洲最富有的国度之一，至今已经150年过去，这个国家仍然是以赌场和相关的旅游业为主。
那年代有一个名叫约瑟夫•贾格尔（Jaggers）的英国人，是约克郡一个棉花工厂的工程师，在摆弄加工棉花的机器之余，经常光顾蒙特卡罗赌场，特别感兴趣那种38个数字的轮盘游戏（图1-1-5）。贾格尔毕竟是位优秀的机械工程师，脑袋中的弯弯绕绕比一般赌徒要多一点。他想：这轮盘机器在理想的情况下，每个数字出现的概率都是1/38。但是，机器怎么可能做到完美对称呢？任何缺陷都可以改变获奖号码的随机性，导致转盘停止的位置偏向某些数字，使这些数字更为频繁地出现。因此，赌徒应该可以利用这种偏向性来赚钱！于是，在1873年，贾格尔下决心要改变自己的命运，他带上他所有的积蓄，前往蒙特卡罗赌场，雇用了六个助手，每个助手把守一个轮盘机器。白天，赌场开放了，助手们用贾格尔供给他们的“赌币”，让轮盘不停地哗啦哗啦转！不过，他们并不在乎输赢，他们的任务是记下所把守的轮盘机停止时的每一个数字。然后，到了晚上赌场关门后，贾格尔便在旅馆里独自分析这些数字的规律。六天后，五个轮盘的数据没有发现有意义的偏离，但第六个轮盘为贾格尔带来了惊喜：38个数字中有9个数出现的概率显然要比其余的频繁得多！贾格尔兴奋不已，第七天他前往赌场，认定了那台有偏向性的轮盘机，大量投注这九个频率高的数字：7，8，9，17，18，19，22，28和29。这种方法使贾格尔当天就赚了7万。不过，贾格尔没高兴几天，事情便引起了管理人员的注意，经理们采取了各种方法来挫败贾格尔的策略，最后贾格尔无法赚更多的钱，便离开了赌场，带着已经到手的巨款，投资房地产去了。
赌场中的确有极少数的人像贾格尔那样偶然幸运地赚了一笔，但更多的赌徒是十赌九输，一直到输光为止。这其中的原因有两个：一方面是因为所有赌场游戏的概率设计本来就是以利于赌场为准，让赌场一方赢的概率为51%，52% ，玩家赢的概率为49%或48% ，如此设计的赌场才能包赚不赔。另一方面，利用赌徒的心态也是赌博游戏设计者们的拿手好戏。赌徒谬误便是一种常见的、不符合概率规则的赌徒错误心态，经常被赌场利用。
赌徒谬误（The Gambler's Fallacy）
赌徒谬误的来源是因为将前后互相独立的随机事件当成有关联而产生的。怎么样算是独立的随机事件呢？比如说，抛硬币一次，是一个随机事件。再抛一次，是另一个随机事件。两个事件独立的意思是说，第二次的结果并不依赖于第一次的，互相没有关联。假设硬币是理想对称的，将出现“正”记为1，“反”记为0，那么，每次结果为1和0的概率都是1/2。第二次“抛”和第一次“抛”互相独立，再多“抛”几次也一样，每次的“抛丢”事件互相独立，出现1和0的概率总是“1/2，1/2”，都和第一次一样。即使硬币不对称，比如两面之概率可能是“2/3，1/3”，也并不会影响每次投丢的“独立性”，每次得到正面的概率都是2/3，并不受上一次结果的影响。
道理容易懂但有时仍会糊涂。比如说，当你用“公平”硬币接连抛了5次1，到了第6次，你可能会认为这次“1”出现的概率会更小了（< 1/2），“0”出现的概率更大了（> 1/2）。也有人是逆向思维，认为既然5次都是1，也可能继续是1（也被称为热手谬误）。实际上这两种想法，都是掉进了“赌徒谬误”的泥坑。也就是说，将独立事件想成了互相关联事件。事实上，一般来说，硬币每次的结果，并不影响下一次正反的概率，硬币没有记忆，不会因为前面5次被抛下时都是正面在上就会加大（或减小）反面朝上的概率。也就是说，无论过去抛出的结果如何，每一次都是第一次，正反出现的几率都是1/2。另外，还有生男生女的问题，也很容易产生谬误，比如有对父母接连生了4个女孩儿，就觉得第5个是男孩的可能性增大了。但事实上，第5个是男或女的概率仍然是50%对50%，并不因前面4个都是女儿而改变。这些都是与“赌徒谬误”类似的迷思。
还有一个笑话：某呆子上飞机时身上带了个炸弹，问其原因，答曰：飞机上有1个炸弹的几率是万分之一，同时有两人带炸弹的几率就是亿分之一，我自己带上一个（绝不爆炸！），便将飞机上有（将爆）炸弹的概率从万分之一降低到了亿分之一！想必你看到这儿，一定会抿嘴一笑。是啊，能不笑吗？此呆子将“自己带炸弹”与“别人带炸弹”的独立事件视为相关，呆子非赌徒，但这也算是一种赌徒谬误。
当然，认为每次抛硬币是互不关联的独立事件，或每一胎生男生女是独立的，也只是我们描述某些随机事件所使用的数学模型而已，物理世界中的此类事件并不一定真正独立。比如说到生男生女的问题，也许有某种与荷尔蒙有关的原因使得前后两胎的性别有所关联，也不是没有这种可能性的。但是，如果有关联，也要明白是如何关联的？应该使用何种模型来描述这种关联？那是另一种类型的研究课题，而赌徒谬误指的则是将基本上没有关联的随机事件，以为有关联来考虑问题而产生的谬误。