【动态规划】300. 最长递增子序列、674. 最长连续递增序列、718. 最长重复子数组

提示：努力生活，开心、快乐的一天

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300. 最长递增子序列

题目链接：300. 最长递增子序列

解题思路

1. 什么是子序列，“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。
2. 动规五部曲

• 确定dp数组以及下标的含义：dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
  为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。
• 确定递推公式：位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
• dp数组如何初始化：每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
• 确定遍历顺序：dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
• 举例推导dp数组：按照递推公式推导一下做推导，如果发现结果不对，就把dp数组打印出来

遇到的问题

1. 内层循环结束需要取最长的子序列

代码实现

动态规划

var lengthOfLIS = function (nums) {
    let dp = new Array(nums.length).fill(1)
    dp[0] = 1
    let result = 1
    for (let i = 1; i < nums.length; i++){
        for (let j = 0; j < i; j++){
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = Math.max(dp[j]+1,dp[i])
            }
        }
        result = Math.max(result,dp[i])// 取长的子序列
    }
    return result
};

题目总结

1. 最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

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674. 最长连续递增序列

题目链接：674. 最长连续递增序列

解题思路

1. 对于动态规划：300.最长递增子序列，最大的区别在于“连续”，最长连续递增序列
2. 动规五部曲

• 确定dp数组以及下标的含义：**dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。**一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置
• 确定递推公式：如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
• dp数组如何初始化：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素，所以dp[i]应该初始1
• 确定遍历顺序：dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历
• 举例推导dp数组：按照递推公式推导一下做推导，如果发现结果不对，就把dp数组打印出来

遇到的问题

1. 注意只需要一层for循环，dp[i-1]与dp[i]的比较

代码实现

动态规划

var findLengthOfLCIS = function(nums) {
    let dp = new Array(nums.length).fill(1)
    for (let i = 1; i < nums.length; i++){
        if (nums[i] > nums[i - 1]) {
            dp[i] = dp[i-1]+1
        }
    }
    return Math.max(...dp)
};

题目总结

该题也可以用贪心算法实现，贪心的算法好像更简单
关键是要理解和动态规划：300.最长递增子序列 (opens new window)的区别
要联动起来，才能理解递增子序列怎么求，递增连续子序列又要怎么求。
概括来说：不连续递增子序列的跟前0-i 个状态有关，连续递增的子序列只跟前一个状态有关

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718. 最长重复子数组

题目链接：718. 最长重复子数组

解题思路

1. 题目中说的子数组，其实就是连续子序列
   要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法 只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。
   动规解决的话，只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了
2. 动规五部曲

• 确定dp数组以及下标的含义：dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始
• 确定递推公式：根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
  即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
• dp数组如何初始化：根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
• 确定遍历顺序：外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。反过来也是可以。
• 举例推导dp数组：按照递推公式推导一下做推导，如果发现结果不对，就把dp数组打印出来

遇到的问题

1. i与j都从1开始遍历

代码实现

动态规划

var findLength = function(nums1, nums2) {
    let m = nums1.length
    let n = nums2.length
    let dp = new Array(m + 1).fill(0).map(x => new Array(n + 1).fill(0))
    let res = 0
    for (let i = 1; i <= m; i++){
        for (let j = 1; j <= n; j++){
            if (nums1[i-1] === nums2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
            }
            res = Math.max(res,dp[i][j])
        }
    }
    console.log(dp)
    return res
};

题目总结

如果定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度，就会比较麻烦，需要重新定义初始化的值
那么 第一行和第一列毕竟要进行初始化，如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话，对应的 dp[i][0]就要初始为1， 因为此时最长重复子数组为1。 nums2[j] 与 nums1[0]相同的话，同理。

今日心得

最长重复子数组这个还是比较难的，比较难想到用二维数组记录状态