leetcode：647. 回文子串

题目来源

• leetcode：647. 回文子串 palindromic-substrings

题目描述

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {

    }
};

题目解析

中心扩展

计算有多少个回文子串的最朴素的方法是枚举出所有的回文子串，而枚举出所有的回文子串又有两种思路，分别是：

• 枚举出所有的子串，然后再判断这些子串是否是回文
• 枚举每一个可能的回文中心，然后用两个指针分别向左右两边拓展，当两个指针指向的元素相同的时候就拓展，否则停止拓展。

复杂度分析：

在实现的时候，我们需要处理一个问题，就是如何有序的枚举所有可能的回文中心，我们需要考虑回文长度是奇数和偶数的两种情况

• 如果回文长度是奇数，那么回文中心是一个字符
• 如果回文长度是偶数，那么中心是两个字符。
• 不可能出现3个字符作为中心的情况，因为3个字符作为中心的话，他就是回文了，等于1个字符作为中心的情况

算法：

• 首先枚举回文串的中心 i，然后分两种情况向两边扩展边界，直到达到边界或者不满足回文串定义为止：
  • 回文串长度是奇数，则依次判断 s[i − k] == s[i + k], k = 1,2,3…
  • 回文串长度是偶数，则依次判断 s[i − k] == s[i + k − 1], k = 1,2,3…

class Solution {

    int count = 0;

    //以left和right为中心点，求回文字符串的数量
    void extend(std::string s, int left, int right){
        int len = s.length();
        while (left >= 0 && right < len && s[left--] == s[right++]){
            ++count;
        }
    };

public:
    int countSubstrings(string s) {
        int len = s.length();
        for (int i = 0; i < len; ++i) {
            extend(s, i, i);  //回文的长度是奇数
            extend(s, i, i + 1);
        }
        return count;
    }
};

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int count = 0;
        //以left和right为中心点，求回文字符串的数量
        auto  extend = [&](std::string s, int left, int right){
            int len = s.length();
            while (left >= 0 && right < len && s[left--] == s[right++]){
                ++count;
            }
        };
        int len = s.length();
        for (int i = 0; i < len; ++i) {
            extend(s, i, i);  //回文的长度是奇数
            extend(s, i, i + 1);
        }
        return count;
    }
};

动态规划

这题让求一个字符串中有多少个回文子串，子串必须是连续的，子序列可以不连续，这题可以使用动态规划来解决。

定义状态：

• dp[i][j]表示字符串s在[i, j]区间的子串是否是一个回文串。如果是dp[i][j]为true，否则为false。

推导状态转移方程

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

• 当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了， dp[i][j]一定是false。
  

• 当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

  • 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串

  • 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
    

  • 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，

    • 例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
    • 比如 ababa 这个字符记作串 1，把两边的 a 去掉，也就是 bab 记作串 2，可以看出只要串2是一个回文串，那么左右各多了一个 a 的串 1 必定也是回文串。所以当 s[i]==s[j] 时，自然要看 dp[i+1][j-1] 是不是一个回文串。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;   // result就是统计回文子串的数量。
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

• 状态转移方程：当 s[i] == s[j] && (j - i < 2 || dp[i + 1][j - 1]) 时，dp[i][j]=true，否则为false

dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int len = s.size();
        std::vector<std::vector<int>>  dp(len, std::vector<int>(len, false));

        int ans = 0;
        for (int i = len - 1; i >=  0; --i) {
            for (int j = i; j < len; ++j) {
                if(s[i] == s[j]){
                    if(j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1]){
                        ++ans;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }

        return ans;
    }
};