古典概型——概率论与数理统计(宋浩)

事件的概率

1.2.1概率的初等描述

概率的定义:事件发生的可能性的大小(P(A))

性质:

  1. P(Ω)=1,P(φ)=0(规范性)
  2. 0<=P(A)<=1(非负性)
  3. 有限可加:A1,A2,A3……An互不相容
  4. P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)

1.2.2古典概型(排律组合)

条件:

  1. 有限个样本点
  2. 等可能性

P(A)=A的有利样本点/Ω中样本的总数=A中包含的基本事件有多少种/基本事件的总数

排列组合

  1. 加法原理:几种方案

例如:有3种馒头,4种米饭,你只能选择一种,所以总共有3+4=7种方案

  1. 乘法原理:分几步

例如:有3种馒头,4种米饭,要求先吃一种米饭再吃一种馒头,那么一共有3*4=12种方案

排列:

  1. 不可重复排列:从n种不同元素取出m个不同元素个

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  1. 全排列:从n个元素里取出n个元素排列

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  1. 重复排列:从n中不同元素中取出m个元素排列(m可重复)

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组合:从n中不同元素中取出m中不同元素组合

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例题:

  1. 一套试卷的选集放在书架上求从左到右或者从右到左是1,2,3,4,5的概率

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  1. 有四个邮筒两封信

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(1)前两个桶各投入一封信的概率

思路:4×4代表一共有两封信,每个信都有4个信筒可以选择。分子代表从前两个里面选择,每个都要投一个。

(2)第二个桶恰有一封信的概率

思路:4×4代表一共有两封信,每个信都有4个信筒可以选择。分子代表先从2封信中选出一个放到第二个邮筒,再让剩下的那封信可以从剩下的三个邮筒里面选择

(3)两封信投入不同桶的概率

思路1:4×4代表一共有两封信,每个信都有4个信筒可以选择。分子代表信件1可以投入4个邮筒中的任意一个,所以有4中选择,而信件2就不能再选择信件1所进入的邮箱所以他还剩下3中选择。

思路2:总概率为1,1减去这两封信进入相同邮筒的概率就是他们投入不同邮筒的概率。4×4代表一共有两封信,每个信都有4个信筒可以选择。而分子就可以看成这两封信为一个整体,这个整体可以投入4个邮箱的任意一个所以是4

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3.有5白色4黑色共9个球任意取三个球:

(1)2白1黑

思路:分母代表从9个求里面选出3个进行组合,分子表示从5个白的里面选出2个白的进行组合,从4个黑的里面选出1个进行组合

(2)没黑球:

思路:分母代表从9个求里面选出3个进行组合,分子代表从5个白球里面选择3个,就不在黑球里面选了。

(3)颜色相同:

思路:分母代表从9个求里面选出3个进行组合,分子代表可以都选白球也可以都选黑球,就是从白球里选3个和从黑球里选三个加起来。

4.a白球b黑球,从中任意取一个球是白球的概率。

P(A)=a/a+b

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5.a个白球和b个黑球,从中接连取出m个(1

法1:思路:分母代表a+b个球的全排列,而我们要求的m假设在中间的某个位置。所以我们的分子代表先在m的位置安排一个白色,而这个白的一共有a中选择,剩下的球全排列即可。

法2:思路:假设我们只取到第m个后面的就不管了,那么分母代表从a+b个里面找出m个球进行排列,分子代表先安排第m位置的白球,这个白球一共有a种选择,剩下还需要将前面的m-1个位置进行排列,即可得出结果。

法3:我们只需要满足第m个位置是白的即可了其他的不用管,这个位置有a+b种选择,而满足我们要求的(也就是为白球的)一共有a种,所以结果为a/a+b

本文章是宋浩老师的概率论与数理统计课程的笔记,为前4p-6p内容所对应的笔记

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视频链接:1.2.1 概率的初等描述【板书】_哔哩哔哩_bilibili

视频链接:1.2.2 古典概型(排列组合)理论【板书】_哔哩哔哩_bilibili

视频链接:1.2.2 古典概型(排列组合)例题【板书】_哔哩哔哩_bilibili

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