算法通关村第九关青铜挑战——透彻理解二分查找

大家好，我是怒码少年小码。

什么是二分查找

二分查找（二分搜索），是一种高效的查找算法。它的使用前提是要在有序数组中使用。通过将目标值与列表的中间元素进行比较，从而缩小查找范围，直到找到目标值或确定目标值不存在。

二分查找的基本步骤如下：

1. 设定查找范围的开始索引 low 和结束索引 high，初始时 low = 0，high = n-1，其中 n 是列表的大小。
2. 计算中间索引 mid，即 mid = (low + high) / 2。
3. 将中间元素与目标值进行比较。如果中间元素等于目标值，则返回找到的元素/索引。
4. 如果中间元素大于目标值，则将 high 更新为 mid - 1，即在左侧子列表中继续查找。
5. 如果中间元素小于目标值，则将 low 更新为 mid + 1，即在右侧子列表中继续查找。
6. 重复步骤 2 ~ 5，直到找到目标值或确定目标值不存在。

二分查找的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是列表的大小。由于每次比较都将查找范围减半，因此它的查找效率非常高。

代码实现

循环方式实现

int binarySearch(int array[], int low, int high, int target) {
	while (low <= high) {
		int mid = (low + high) / 2;
		if (array[mid] == target) {
			return array[mid];
		}else if(array[mid] > target) {
			high = mid - 1;
		}else {
			low = mid + 1;
		}
	}
	return 0;
}

如果你能写出以上的代码，那你大致达到了70分，还有一些地方需要优化。

在计算机中除的效率很低，因此我们把除法换成移位。也就是

把
int mid = (low + high) / 2;
换成：
int mid = (low + high) >> 1;

至此你就有了80分，还有哪里需要改进呢？当low和high很大的时候，low + high 也很大，可能会溢出。我们可以改成

int mid = low + ((high - low) >> 1);

high - low表示high和low之间的距离，>>表示除与2，再加上 low 就可以得到中间位置的索引。至于为啥(high - low) >> 1之间要加括号，那是因为移位运算符的优先级小于加减号！！。最后改进版的如下：

int binarySearch01(int array[], int low, int high, int target) {
	while (low <= high) {
		int mid = low + ((high - low) >> 1);
		if (array[mid] == target) {
			return array[mid];
		}
		else if (array[mid] > target) {
			high = mid - 1;
		}
		else {
			low = mid + 1;
		}
	}
	return 0;
}

递归方式实现

如果能理解上面的方法，递归也就不难理解了。

int binarySearch02(int array[], int low, int high, int target) {
	while (low <= high) {
		int mid = low + ((high - low) >> 1);
		if (array[mid] == target) {
			return array[mid];
		}
		else if (array[mid] > target) {
			return binarySearch02(array, low, mid - 1, target);
		}
		else {
			return binarySearch02(array, mid + 1, high, target);
		}
	}
	return 0;
}

元素中有重复的二分查找

假如我们要找的元素在数组中有重复的，那么我们要返回的是最左边的那个。

显然这个问题的前提是我们已经找到了我们要找的元素，于是去检查它的左边有没有和他重复的元素，没有就返回它自己，有就一直往左走，一直到最左边的我们要找的元素

所以这个算法的其他分支和上面的相同，只有找到的if (array[mid] == target) 那条语句下方还要进行遍历和判断。

int binarySearch03(int array[], int low, int high, int target) {
	while (low <= high) {
		int mid = low + ((high - low) >> 1);
		if (array[mid] == target) {
			return array[mid];
		}
		else if (array[mid] > target) {
			high = mid - 1;
		}
		else {
			//找到元素之后，接着往左找看看有没有重复的
			while (mid != 0 && array[mid] == target) {
				 mid--;
			}
			if (mid == 0 && array[mid] == target) {
				return mid;
			}
			return mid + 1;
		}
	}
	return 0;
}

找到第一个不是目标元素的元素的时候while循环结束，此时的mid下标的元素是第一个不正确的元素，往后移动一个mid + 1的下标的元素才是我们要找的元素，所以最后才return mid + 1;