二叉树的顺序结构及实现
二叉树的顺序结构及实现
- 二叉树的顺序结构及实现
-
- 1.1二叉树的顺序结构
- 1.2 堆的概念及结构
- 1.3 堆的实现
-
- 1.3.1 堆向下调整算法
- 1.3.2 堆的创建
- 1.3.3 建堆时间复杂度
- 1.3.4 堆的插入
- 1.3.5 堆的删除
- 1.3.6 堆的代码实现
- 1.4 堆的应用
-
- 1.4.1 堆排序
- 1.4.2 TOP-K问题
二叉树的顺序结构及实现
1.1二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
1.2 堆的概念及结构
如果有一个关键码的集合K = { k0 ，k1，k2，…，kn-1 }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，并满足： Ki <= K2*i+1 且 Ki <= K2*i+2 ( Ki >= K2*i+1 且 Ki <= K2*i+2 ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
1.3 堆的实现
1.3.1 堆向下调整算法
现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
//左右子树都是大堆/小堆
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n)//最差情况走完child=n
{
//根据需求选出左右孩子中大或小的那个
if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])//这里先判断child+1是否小于n(是否有右孩子)，有的话再进行访问a[child+1]，防止越界访问
{
++child;
}
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
1.3.2 堆的创建
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。（向上调整建堆）
int a[] = {1,5,3,8,7,6};
两种方法：
方法一：向上调整建堆，把a数组从第二个元素开始遍历，相当于插入数据，没插入一个数据向上排序一次。
方法二：向下调整建堆，因为向下调整建堆需要左右子树都是堆，所以从最后一个节点找其父节点，依次向下建堆，每次建完堆父节点减1，完成对所有父节点的建堆，最后完成整体的建堆。
//对数组进行堆排序
void Heap(int* a, int n)
{
//建堆--向上调整建堆 -- O(N*logN)
//for (int i = 1; i < n; i++)
//{
// AdjustUp(a, i);//相当于将数组进行插入
//}
//
// 建堆 -- 向下调整建堆 -- O(N)
for (int i = (n - 1 -1)/2; i >= 0 ; --i)//n-1代表最后一个元素的下标，(n-1-1)/2,代表其父节点
{
AdjustDown(a, n, i);
}
}
}
1.3.3 建堆时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
1.向下调整建堆时间复杂度
根据每层节点最多向下调整多少次进行计算，利用错位相减法，最终算得T(N)=2h-1-h, 其中2h-1=N,N是树节点的个数，h是logN（忽略），得最后向下建堆时间复杂度是N
2.向上调整建堆
1.3.4 堆的插入
先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * php->capacity * 2);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity *= 2;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
//对每次插入的值进行向上调整
AdjustUp(php->a, php->size-1);
}
1.3.5 堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
//删除数据(直接进行删除会破坏左右子树的堆结构
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
1.3.6 堆的代码实现
void HeapInit(HP* php)
{
assert(php);
php->a = (Hpdatatype*)malloc(sizeof(Hpdatatype)*4);
if (php->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
php->size = 0;
php->capacity = 4;
}
void HeapInitArray(HP* php, int* a, int n)
{
assert(php);
php->a = (Hpdatatype*)malloc(sizeof(Hpdatatype) * n);
if (php->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
php->size = 0;
php->capacity = n;
//建堆
for (int i = (n-1-1)/2; i > 0; --i)
{
HeapAdjustDown(php->a, php->size, i);
}
}
void HeapDestory(HP* php)
{
assert(php);
free(php->a);
free(php);
}
void Swap (Hpdatatype* a1, Hpdatatype* a2)
{
Hpdatatype tmp = *a1;
*a1 = *a2;
*a2 = tmp;
}
// 左右子树都是大堆/小堆
// 除了child这个位置，前面数据构成堆
//对每次插入的数据进行向上调整，所以不用管左孩子还是右孩子
void HeapAdjustUp(Hpdatatype* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;//不用管左孩子还是右孩子,算出来的值都等于parent
//当child=parent=0时跳出循环(不要使用parent>=0作为条件,因为parent不会<0)
while (child>0)
{
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPush(HP* php, Hpdatatype x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
Hpdatatype* tmp = (Hpdatatype*)realloc(php->a, sizeof(Hpdatatype) * php->capacity*2 );
if (tmp == NULL)
{
perror("relloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity *= 2;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
//对每次插入的值进行向上调整
HeapAdjustUp(php->a, php->size-1);
}
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
HeapAdjustDown(php->a,php->size,0);
}
// 左右子树都是大堆/小堆
void HeapAdjustDown(Hpdatatype* a, int n, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
//n为数组的大小，不要越界访问
while (child < n)
{
// 选出左右孩子中大的那一个
if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])
{
++child;
}
if (a[parent] > a[child])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
// 对数组进行堆排序(排升序，建大堆)
//先将数组建大堆，然后用最后一个元素与堆顶元素互换，这样将最大的数放在最后
//再将除了最大数的其余数进行建大堆，以此类推，实现排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆--向上调整建堆 -- O(N*logN)
//for (int i = 1; i < n; i++)
//{
// HeapAdjustUp(a, i);
//}
// 建堆 -- 向下调整建堆 -- O(N)
for (int i = (n - 1 - 1)/2; i >= 0 ; i--)
{
HeapAdjustDown(a, n, i);
}
//end代表最后一个元素的下标，同时也代表最后一个元素之前的元素个数
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0],&a[end]);
HeapAdjustDown(a, end, 0);
end--;
}
}
Hpdatatype HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
return php->a[0];
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
int HeapSize(HP* php)
{
assert(php);
return php->size;
}
void CreateNDate()
{
//造数据
int n = 100000;
srand(time(0));
const char* file = "data.txt";
FILE* fin = fopen(file, "w");
if (fin == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
int x = rand() % 10000;
fprintf(fin, "%d\n", x);
}
fclose(fin);
}
1.4 堆的应用
1.4.1 堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
- 建堆
升序：建大堆
降序：建小堆 - 利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
//对数组进行堆排序(排升序，建大堆)(排降序，建小堆)
//先将数组建大堆，然后用最后一个元素与堆顶元素互换，这样将最大的数放在最后
//再将除了最大数的其余数进行建大堆，以此类推，实现排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆--向上调整建堆 -- O(N*logN)
//for (int i = 1; i < n; i++)
//{
// AdjustUp(a, i);//相当于将数组进行插入
//}
//
// 建堆 -- 向下调整建堆 -- O(N)
for (int i = (n - 1 - 1)/ 2; i >= 0 ; --i)//n-1代表最后一个元素的下标，(n-1-1)/2,代表其父节点
{
AdjustDown(a, n, i);
}
//end代表最后一个元素的下标，同时也代表最后一个元素之前的元素个数
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);
AdjustDown(a, end, 0);
end--;
}
}
运行示例结果：
1.4.2 TOP-K问题
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
- 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆 - 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
- 将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
//TOPK问题
void CreateNDate()
{
//造数据
int n = 100000;
srand(time(0));
const char* file = "data.txt";//创建一个data文本文件
FILE* fin = fopen(file, "w");//以只写方式打开
if (fin == NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int x = rand() % 10000;
fprintf(fin, "%d\n", x);//向文件中输入数据
}
//写完关闭文件
fclose(fin);
}
void PrintTopK(const char* file, int k)
{
// 1. 建堆--用a中前k个元素建小堆
int* topk = (int*)malloc(sizeof(int) * k);//创建topk数组
assert(topk);
FILE* fout = fopen(file, "r");//以只读的方式打开
if (fout == NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
// 读出前k个数据建小堆
for (int i = 0; i < k; i++)
{
fscanf(fout, "%d", &topk[i]);//从文件中读取文件，输出到topk数组
}
for (int i = (k - 1- 1) / 2; i > 0; --i)
{
AdjustDown(topk, k, i);
}
// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
int val;
int ret = fscanf(fout, "%d", &val);
while (ret != EOF)
{
if (val > topk[0])
{
topk[0] = val;
AdjustDown(topk, k, 0);
}
ret = fscanf(fout, "%d", &val);
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", topk[i]);
}
free(topk);
fclose(fout);
}