【算法设计zxd】第2章 算法分析实例 递归非递归——交换，n阶乘，矩阵乘法，汉诺塔，二路归并，

目录

非递归形式算法分析：

递归形式算法分析：

【例2-9】交换a和b的值。

非递归

 【例2-10】求n!

非递归：

思考题：韩信点兵

【例2-11】对于任意给定的n阶方阵A和B，求A×B的积C并且 分析它算法执行效率。

问题分析：

计算模型：

非递归：

【例2-13】汉诺塔(Tower of Hanoi)问题。

 问题分析：

计算规模：​

【例2-14】试分析二路归并排序算法的时间复杂度。

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非递归形式算法分析：

 决定用哪些参数表示输入规模；

 找出算法的核心操作，它通常位于算法的最内层循环中；

 检查核心操作的执行次数是否只依赖于输入规模。如果 它还依赖于一些其他的特性，则可能需要对最差效率、 平均效率以及最优效率分别研究；

 以式 (2-1) 的思想为核心，建立一个算法基本操作执行次 数的求和表达式；

 利用求和运算标准公式和法则来建立一个操 作次数的闭合公式，或者至少确定它的增长

次数。

递归形式算法分析：

 决定用哪些参数作为输入规模的度量标准；

 找出算法的核心操作，它通常是递推公式；

 检查一下，对于相同规模的不同输入，核心操作的执 行次数是否可能不同。如果有这种可能，则必须对最 差效率、平均效率以及最优效率做单独研究；

 对于算法核心操作的执行次数，建立一个递推关系以 及相应的边界条件；

 解这个递推式，或者至少确定它的解的增长 次数。

谨慎使用递归算法，因 为它们的简洁可能会掩 盖其低效率的事实。

【例2-9】交换a和b的值。

非递归

算法设计与描述	算法分析
输入：a,b	(1)输入a,b两个数，规模为2
输出：a,b
swap(a,b) {         Temp <- a;         a <- b;         b <- Temp;         output(a,b); }	(2)核心操作为3条交换语句； （3）核心操作执行的次数是一个与输入规模无关的常数 （4）算法的时间复杂度为常数阶 T(n)= O(1)   //O渐近上界 0 ≤ f(n)  ≤ c*g (n )

 【例2-10】求n!

非递归：

算法设计与描述	算法分析
输入：n	(1)输入n，规模为n ，控制迭代次数。
输出：n !
F (n) {         s <- 1;         for i <- 1 to n do                 s=s*i ;         output(s); }	（2）核心操作为 s=s*i ； 一次乘法运算 （3）核心操作执行的次数，只受输入规模n控制 （4）依据定理2.5 算法的时间复杂度为常数阶 T(n)= ∑(n,i=1) 1 = Θ(n) //渐近紧界

递归：

计算模型：

算法设计与描述	算法分析
输入：n	(1)输入n，规模为n ，计算规模也是n
输出：n !
F (n) {         if(n==0) return 1;         else return n*F(n-1); }	（2）核心操作为 n*F(n-1) ； 一次乘法运算 （3）根据递推公式，每递推一次，执行一次乘法操作，因此有以下推导过程： T(n) =1+T(n-1) =1+1+T(n-2)……=1+1+…+1+T(1)=1+1+…+1=n=Θ(n) （4） //渐近紧界

思考题：韩信点兵

#include
using namespace std;
int main()
{
	int n=1;
	while( (n%3!=2)||(n%5!=3)||(n%7!=2)){
		n++;
	}
	cout<

优化：

//a,b,c中，c的大小对该结果影响最大，因此从c入手可以稍微提高运算效率。
void hanxin01()
{
	int n=9;//7+2
	int i=0; 
	while(true)
	{
		if(n%3==2&&n%5==3)
		break;
		i++;
		n+=7;
	}
	cout<<"次数:"<

【例2-11】对于任意给定的n阶方阵A和B，求A×B的积C并且 分析它算法执行效率。

问题分析：

C也是n阶方阵，每个元素 = 矩阵A的行 和矩阵B的列 的点积 。

对于 i>=0 , j<= n-1 的每一对下标 ，有 C[i,j] = A[i,0]B[0,j] +... + [i,k]B[k,j] + .... + A[i,n-1]B[n-1,j] 

计算模型：

设 i , j, k ∈[0, n-1]，矩阵运算中将反复执行下述计算公式：

非递归：

算法设计与描述	算法分析
输入：A,B	(1)输入A,B，规模为n x n
输出：C=Ax B
MatrixMultiplication  (A[n] ,B[n] ) {         for i <- 0 to n-1 do                 for j <- 0 to n-1 do                 {                         C[i,j] <- 0.0 ;                         for k <- 0 to n-1 do                                 C[i,j] = C[i,j] + A[i,k]*B[k,j];                 }         return C; }	（2）核心操作 通过加法和乘法运算 求C[i,j] （3）核心操作执行的次数，只受输入规模n控制 ∑(n-1 , k=0) 1  （4）依据定理2.5 算法的时间复杂度为常数阶 T(n)=  Θ(n^3 ) //渐近紧界

【例2-13】汉诺塔(Tower of Hanoi)问题。

如图 2-2 所示，有 n个 大小不同的盘子和 3 根木桩。开始时，所有盘子都套在第A根 木桩上，最大的盘子在底部，最小的盘子在顶部。现在要借 助第 B 根木桩把所有盘子都移动到第 C根木桩上，但是移动时， 必须保证大盘子在下面，小盘子在上面。

 问题分析：

把n 个盘子从木桩A移到木桩C，三个步骤：

1）把n-1个盘子从木桩A移到木桩B，借助于木桩C；

2）把一个盘子从木桩A移到木桩C

3）把n-1个盘子从木桩B移到木桩C，借助木桩A

计算规模：

 递归：

算法设计与描述	算法分析
输入：n	(1)输入n，计算规模是n
输出：显示
Hanoi (A,C,n) {         if(n==1) move(A,C,1);//移动展示         else          {                 Hanio(A,B,n-1);//n-1个盘子，从A移到B，借助另一个                 move(A,C); // 从A移动到C                 Hanoi(B,C,n-1); //         } }	（2）核心操作为 移动盘子 （3）根据递推公式，。。。【不全】

【例2-14】试分析二路归并排序算法的时间复杂度。

问题分析：

二路归并排序的思想是：将待排序 的数列分成相等的两个子数列(数量 相差±1)，然后，再使用同样的算 法对两个子序列分别进行排序，最 后将两个排好的子序列归并成一个 有序序列。

代码：

#include
#include
using namespace std;
//二路归并
int a[100];
int n=10;
void merge(int a[],int low,int mid,int high)
{
	int sum1=mid-low+1;//元素个数 
	int sum2=high-mid;
	int b[100]={0};
	int c[100]={0};
	for(int i=0;isum1)//c有剩余 
	{
		for(;j

算法设计与描述 MergeSort( A,p,r )	算法分析【换元迭代】
输入：n个数的无序序列A[p,r] , 1<= p <= r <= n ,	(1)输入n，计算规模是n
输出：n个数的有序序列A[p,r]
MergeSort (A,p,r) {         if( p         {                 q <- (p+r)/2 ;//中间                 MergeSort (A,p,q); //左侧                 MergeSort(A,q+1,r) ;//右侧                 Merge (A,p,q,r);          }  }	（2）核心操作为 移动盘子 （3） (4) 换元

代码代码

Merge

算法设计与描述 Merge( A,p,q,r )	算法分析
输入：n按递增顺序排好的 A[p...q] 和 A[q+1...r ]	(1)输入n，计算规模是n
输出:按照递增顺序排序的A[p,r]
Merge (A,p,q,r) {         x <- q-p+1 ,y <- r-q;//x,y分别是两个子数组的元素数         A[p...q] -> B[1...x] , A[q+1...r] -> C[1...y] //两个新数组                  i <- 1 ,j<- 1 ,k <- p          while i<=x and j <= y do          {                 if ( B[i] <= C[ j ] ) //注意是i 和 j                  {                         A[k] <- B[i];//较小数                         i <- i+1;                 }                 else                {                         A[k] <- C[j] ;                         j <- j+1;                }                 k=k+1;         }          if(i>x)        C[j...y] -> A[k..r] //如果还要剩余的元素，就不需要比较，直接赋值回去就行         else         B[i..x] -> A[k...r] }	（2）核心操作为 移动盘子 （3）根据递推公式，。。。【不全】