【算法设计zxd】第3章迭代法03 线性代数方程

 
线性代数方程：

 设线性代数方程组具有如下特征：

  算法框架

• (1)设置线性代数方程组的初值X=(x1，…，xn-1 ，xn)；
• (2)构造迭代方程xi=gi (X)   (i=1,…,n-1,n)及精度求解方法；
• (3)达到迭代次数或精度结束迭代。

雅克比算法：

k的意义：第k次运算（迭代）

没有利用前一次计算的结果。

就是移项。

 

 更快。

这个评价是在数值分析课程中。

ρ(B)是表示谱半径，也就是矩阵特征向量中的最大值。

是否收敛与谱半径有关：当谱半径<1，或任意一个特征范式<1，

 

 

 

 【例3-8】求下列解线性方程组的解

  计算模型

 

 

算法设计与描述
输入：
输出：
Jacobi (x[],k) {         i <- k;         while (i)        //用次数来算         {                 x11 <- ( 20+3*x[2]-2*x[3])/8;                 x12 <- ( 33-4*x[1]-x[3])/11;                 x13 <- ( 36-6*x[1]-3*x[2])/12;                 x[1] <- x11; x[2] <- x12 ;x[3] <- x13 ;//算完再更新                 i <- i-1 ;         }         output(x[]); }	时间复杂度分析 由于计算模型已列出，ρ(B)=0.3592， R(B)=-lnρ(B)=1.02276，于是有 k≥(5ln10)/ 1.02276=11.2567， 则实际k可取12次可达到要求。
Gauss_Seidel (x[],k) {         i <- k;         while ( i )         {                 x[1] <- ( 20+3*x[2]-2*x[3])/8;        //直接更新                 x[2] <- ( 33-4*x[1]-x[3])/11;                 x[3] <- ( 36-6*x[1]-3*x[2])/12;                 i <- i-1 ;         }         output(x[]); }	运行结果分析 Jacobi算法: k=12，结果: 2.999988 2.000008 1.000014 k=16，结果: 3.000000 2.000000 1.000000 Gauss_Seidel 算法: k=12， 结果: 3.000000 2.000000 1.000000

思考题：求下列解线性方程组的解

思考题（1）不收敛

思考题（2）

delta:0.00109925         u: -0.415718    v:-0.516958
x1:-0.932676     x2:(0.466338,0.0876765)         x3:(0.466338,-0.0876765)
k:133
jacobi:
x[1]:-4 x[2]:3  x[3]:2
Gauss_Seidel:
x[1]:-4 x[2]:3  x[3]:2