数学思维的魅力：用容斥原理与等差数列求和解决力扣倍数求和问题

本篇博客会讲解力扣“2652. 倍数求和”的解题思路，这是题目链接。

老规矩，先来审题：

以下是输出示例：

以下是提示：

思路1

你当然可以采用暴力枚举的方式，找到所有能被3、5、7整除的数，并求和，但这样时间复杂度是O(N)，效率不够。

int sumOfMultiples(int n) {
	int sum = 0;
	// 找出能被3、5、7整除的数，并求和
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (i % 3 == 0 || i % 5 == 0 || i % 7 == 0)
		{
			sum += i;
		}
	}

	return sum;
}

这样是能够通过的，但这个思路不是今天的主角。

思路2

我们可以用数学的方法，推出时间复杂度为O(1)的思路，也就是用数学公式直接计算。

假设sum(n, m)表示在[1,n]中，所有能够被m整除的数之和。那么，我们要求的是多少呢？事实上，根据容斥原理，能够被3、5、7整除的数据之和等于sum(n, 3) + sum(n, 5) + sum(n, 7) - sum(n, 15) - sum(n, 21) - sum(n, 35) + sum(n, 105)。

接下来的问题是，如何求sum(n, m)呢？在[1,n]中，所有能够被m整除的数构成等差数列，其中首项是m，公差是m，项数是c=n/m，那么就可以求出末项，即末项=首项+(项数-1)*公差，即m + (c-1)*m。接着就可以求出和为(首项+末项)*项数/2，即(m + m + (c-1)*m) * c / 2，化简得m * (c + 1) * c / 2。

int sum(int n, int m)
{
	// 这些能被m整除的数构成等差数列
	// 首项：m
	// 公差：m
	// 项数：n/m
	int c = n / m;
	// (首项+末项)*项数/2
	// 末项=首项+(项数-1)*公差
	//return (m + m + (c-1)*m) * c / 2;
	return m * (c + 1) * c / 2;
}

int sumOfMultiples(int n) {
	// 容斥原理
	return sum(n, 3) + sum(n, 5) + sum(n, 7)
		- sum(n, 15) - sum(n, 21) - sum(n, 35)
		+ sum(n, 105);
}

这样也能通过。

总结

善用数学的方法，把问题的时间复杂度降到O(1)。

感谢大家的阅读！