搜索+图论+数论

一、搜索与图论

1. DFS（深度优先遍历）

时间复杂度：
邻接矩阵：O(v^2) （v是点数）
邻接表： O(v+m) （v是点数，m是边数）

数字排列

static int n = 10;
	static int[] path = new int[15]; // 存储数字的顺序
	static boolean[] st = new boolean[15];// 数字使用状态，下标数字 一一对应

	static void dfs(int u) {  //参数是 树的层数，也就是排列数字的第 u 位
		if (u == n) {  //到最后一层，递归结束
			for (int i = 0; i < n; i++)
				System.out.print(path[i]);
			System.out.println();
			return;
		}

		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if(!st[i]) {
				path[u] = i;
				st[i] = true;
				dfs(u+1);
				st[i] = false; // 数据保持一致，用了还 （回溯）
			}
		}
	}

n皇后问题（优化版）

//版本1 (每行只选一个格子)
	static int N = 20; // 由于斜线的原因，至少开 2n-1 的空间
	static int n; // n皇后问题
	static char[][] g = new char[N][N]; // 存储皇后的信息
//	布尔类型默认值为 flase
	static boolean[] col = new boolean[N]; // 列
	// 正对角线 u = -i + b --> b = u + i
	static boolean[] dg = new boolean[N];
	// 反对角线 u = i + b --> b = u - i 但是 b 不能小于0，所以b = n - (u - i) = n - u + i
	static boolean[] udg = new boolean[N];

	static void dfs(int u) { // 这里的 u 是行号
//		递归出口
		if (u == n) {
			for (int i = 0; i < n; i++) { // 走到叶子结点，当前的g数组就是一个方案
				for (int j = 0; j < n; j++) {
					System.out.print(g[i][j] + " ");
				}
				System.out.println();
			}
			System.out.println();
		}

		for (int i = 0; i < n; i++) {
			if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i]) {
				g[u][i] = 'Q';
				col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;
				dfs(u + 1);
				col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;
				g[u][i] = '.';
			}
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		n = 4; // 假装输入 4
//		初始化棋盘
		for (int i = 0; i < n; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)
				g[i][j] = '.';
		dfs(0);
	}

n皇后问题（初阶版）

// 版本2(从左上到右下，按格子放皇后)
	static int N = 20; // 由于斜线的原因，至少开 2n-1 的空间
	static int n; // n皇后问题
	static char[][] g = new char[N][N]; // 存储皇后的信息
//	布尔类型默认值为 flase
	static boolean[] col = new boolean[N]; // 列
	static boolean[] row = new boolean[N]; // 列
	// 正对角线 u = -i + b --> b = u + i
	static boolean[] dg = new boolean[N];
	// 反对角线 u = i + b --> b = u - i 但是 b 不能小于0，所以b = n - (u - i) = n - u + i
	static boolean[] udg = new boolean[N];

	/**
	 * @param x 行
	 * @param y 列
	 * @param s 皇后个数
	 */
	static void dfs(int x, int y, int s) {
		if (y == n) {// 列标 溢出
			y = 0;
			x++;// 转到下一行
		}

		if (x == n) {
			if (s == n) { // 放满8个皇后
				for (int i = 0; i < n; i++) {
					for (int j = 0; j < n; j++) {
						System.out.print(g[i][j]);
					}
					System.out.println();
				}
				System.out.println();
			}
			return;
		}

//		不放皇后
		dfs(x, y + 1, s);

//		放皇后
		if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n]) {
			g[x][y] = 'Q';
			row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
			dfs(x, y + 1, s + 1);
			row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
			g[x][y] = '.';
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		n = 4; // 假装输入 4
//		初始化棋盘
		for (int i = 0; i < n; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)
				g[i][j] = '.';
		dfs(0, 0, 0);
	}

2. BFS

时间复杂度
邻接矩阵：O(v^2) （v是点数）
邻接表： O(v+m) （v是点数，m是边数）
迷宫最短路问题

	static int N = 10;
	static int[][] g = new int[N][N];// 图的数组
	static int[][] d = new int[N][N];// 距离
	static int[][] q = new int[N * N][2]; // 队列，存下标
	static int n, m;// 行数 列数

	static int bfs() {
		int hh = 0, tt = 0; // 队列的头尾指针
//		初始化距离数组（注意 fill 只能对一维数组进行填充）
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			Arrays.fill(d[i], -1);
		}
		q[0][0] = 0;
		q[0][1] = 0;

		d[0][0] = 0;
		int[] dx = { -1, 0, 1, 0 }; // x向量
		int[] dy = { 0, -1, 0, 1 }; // y向量

		while (hh <= tt) {
//			队头出队
			int xx = q[hh][0];
			int yy = q[hh++][1];

			for (int i = 0; i < 4; i++) {
				int x = dx[i] + xx;
				int y = dy[i] + yy;
				if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == 0 && d[x][y] == -1) {
					d[x][y] = d[xx][yy] + 1;

					q[++tt][0] = x;
					q[tt][1] = y;
				}
			}
		}
		return d[n - 1][m - 1];
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < m; j++) {
				g[i][j] = sc.nextInt();
			}
		}
		System.out.println(bfs());
		System.out.println();
	}

3. 图的DFS

树的重心问题 参考地址

	static int N = 100010;
	static int M = 2 * N;
	static int ans = N;
	static int n, idx;
	static int[] h = new int[N];// 头指针数组
	static int[] e = new int[N];// 结点
	static int[] ne = new int[N];// next指针数组
	static boolean[] st = new boolean[N];// 记录点有没有被遍历

//	添加结点 a 指向 结点 b 的边
	static void add(int a, int b) {
		e[idx] = b;
		ne[idx] = h[a];
		h[a] = idx++;
	}

//	深度优先遍历
	/**
	 * @param u 要搜索的结点下标
	 * @return 返回 u 结点所在图的结点树
	 */
	static int dfs(int u) {
		st[u] = true; // 记录下已经遍历的结点，防止重复遍历
		int size = 0; // 连通块的最值
		int sum = 0;
		for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
			int j = e[i];
//			重复结点，跳过
			if (st[j])
				continue;
			int s = dfs(j);// 深搜子结点
			size = Math.max(size, s); // 更新连通块的最值
			sum += s; // u结点的所有子结点拥有的结点数加起来 sum
		}
		size = Math.max(size, n - sum - 1); // u的子连通块的最小连通数 ； u 的父连通块的结点数
		ans = Math.min(size, ans); // 找最小连通块的结点个数
		return sum + 1; // 子结点的连通块个数 加上 本身 1个
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();

		// 初始化邻接表（链表）
		Arrays.fill(h, -1);
		for (int i = 0; i < n - 1; i++) { // 读取边数据，初始化图，边数比结点数少 1
			int a = sc.nextInt();
			int b = sc.nextInt();
			add(a, b);
			add(b, a);
		}
		dfs(1);// 随便传一个点
		System.out.println(ans);
	}

4. 图的BFS

图中点的层次 参考地址

	static int n, m, idx;
	static int N = 10010;
	static int[] e = new int[N];
	static int[] ne = new int[N];
	static int[] h = new int[N];
	static int[] d = new int[N];
	static int[] q = new int[N];

	static void add(int a, int b) {
		e[idx] = b;
		ne[idx] = h[a];
		h[a] = idx++;
	}

	static void bfs() {
		Arrays.fill(d, -1);
		q[0] = 1;
		d[1] = 0;
		int hh = 0, tt = 0;
		while (hh <= tt) {
			int t = q[hh++];
			for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
				int j = e[i];
				if (d[j] == -1) // 条件成立，当前结点没有被搜索到过
				{
					d[j] = d[t] + 1;
					q[++tt] = j; // 插入到队列中
				}

			}
		}
		System.out.println(d[n]);
	}

	public static void main(String[] args) {
		Arrays.fill(h, -1);
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int a, b;
			a = sc.nextInt();
			b = sc.nextInt();
			add(a, b);
		}
		bfs();

	}

5. 图的拓扑序列

有向，无环的图才有拓扑序列 参考地址

	static int N = 100010;
	static int idx, n, m;
	static int[] e = new int[N];// 结点值数组
	static int[] ne = new int[N];// next指针数组
	static int[] h = new int[N];// 头指针数组
	static int[] q = new int[N];// 队列
	static int[] d = new int[N];// 入度数

//	a ---> b 
	static void add(int a, int b) {
		e[idx] = b;
		ne[idx] = h[a];
		h[a] = idx++;
	}

	static boolean topSort() {
		int hh = 0, tt = -1;

		for (int i = 1; i <= n; i++) { // 这里必须是从 1 到 n，因为点的编号从 1 开始，没有 0
			if (d[i] == 0) {
				q[++tt] = i; // 将所有入度为 0 的点入队
			}
		}

		while (hh <= tt) {
			int t = q[hh++];// 当前结点
			for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {// 遍历当前结点的所有后继结点
				int j = e[i]; // 获取当前结点的后继结点的值
				d[j]--; // 删除点 t 指向 点 j 的边
				if (d[j] == 0) // 如果点 j 的入度为零了，入队
					q[++tt] = j;
			}
		}
// 		表示如果n个点都入队了的话，那么该图为拓扑图，返回true
		return tt == n - 1;
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();

//		初始化头指针数组
		Arrays.fill(h, -1);
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			int a, b;
			a = sc.nextInt();
			b = sc.nextInt();
			add(a, b);// a指向b ，b的入度 +1
			d[b]++;
		}

		if (topSort()) {
			for (int i = 0; i < n; i++) {
				System.out.print(q[i]);
			}
			System.out.println();
		} else {
			System.out.println(-1);
		}
	}

6. Dijkstra(迪杰斯特拉)

适用范围：单源无负权边
朴素版 O(n^2)
适用于稠密图 即 n个点 n^2条边
参考链接

import java.util.*;

class Main{
    static int N = 550,n,m,INF = 0x3f3f3f3f;
    static int[][] g = new int[N][N];//邻接矩阵存图
    static boolean[] st = new boolean[N];
    static int[] dist = new int[N];
    
    static int dijkstra()
    {
        Arrays.fill(dist,INF);
        dist[1] = 0;
        
        for(int i = 0; i < n; i++)//找n次最小距离的点
        {
            int t = -1;
            for(int j = 1; j <= n; j++)//循环找当前最小距离的点
            {
                if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                    t = j;
             
            }
            st[t] = true;
            for(int j = 1; j <= n; j++)//用当前最小距离的点试图去更新其他的距离
            {
                dist[j] = Math.min(dist[j],dist[t] + g[t][j]);
            }
        }  
        if(dist[n] == INF)
            return -1;
        else
            return dist[n];
    }
    
    
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        for(int i = 0; i <= n; i++)
        {
            Arrays.fill(g[i],INF);//初始化边权（全部默认为无边【无穷大】）
        }
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            g[a][b] = Math.min(g[a][b],c);//处理重边。直接保留最短的边即可
        }
        System.out.println(dijkstra());
    }
}

堆优化版 O(m Log n)
适用稀疏图

	static int N = 1000010;
	static int[] e = new int[N], ne = new int[N], h = new int[N], w = new int[N];// 邻接表
	static int idx;
	static int[] dist = new int[N];// 距离数组
	static boolean[] st = new boolean[N];// 是否已经求得最短路径
	static int n, m;

	static void add(int x, int y, int z) {
		e[idx] = y;
		w[idx] = z;
		ne[idx] = h[x];
		h[x] = idx++;
	}

	static int dijkstra() {
//		初始化距离
		Arrays.fill(dist, 0x3f3f3f3f);
		dist[1] = 0;
		PriorityQueue<pair> heap = new PriorityQueue<>((o1, o2) -> (o1.d - o2.d));// 按距离升序排小根堆
		pair pair = new pair(0, 1);
		heap.add(pair);

		while (heap.size() != 0) {
			pair t = heap.peek();// 小顶堆，堆顶即是最小路径的点
			heap.poll();
			int ver = t.x; // vertex ：顶点
			int distance = t.d;
			if (st[ver]) {
				continue;// 如果该点已经确定了最短距离那就跳过
			}
			st[ver] = true;
			for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
				int j = e[i];
				if (dist[j] > distance + w[i]) {
					dist[j] = distance + w[i]; // 更新距离
					heap.add(new pair(dist[j], j));
				}
			}
		}

		if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
			return -1;
		else
			return dist[n];
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();

//		初始化邻接表
		Arrays.fill(h, -1);
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			int x = sc.nextInt();
			int y = sc.nextInt();
			int z = sc.nextInt();

			add(x, y, z);
		}
		System.out.println(dijkstra());
	}

	static class pair {
		int d;// 存 到该点距离
		int x;// 存 点

		public pair(int d, int x) {
			super();
			this.d = d;
			this.x = x;
		}

	}

7. Bellman-Ford（贝尔曼福特）

适用范围：单源有负权边
有边数限制的最短路：原题地址
算法复杂度： O(nm)

	static int N = 510;
	static int M = 10010;
	static Edge[] edges = new Edge[M];// 存储所有的边
	static int[] dist = new int[N];// 距离数组
	static int[] backup = new int[N];// 备份数组，用于防止连环更新
	static int n, m, k;// k是题目限制的边数

	static class Edge { // 自定义一个边类
		int a, b, w;

		public Edge(int a, int b, int w) {
			this.a = a;
			this.b = b;
			this.w = w;
		}
	}

	static int bellmanFord() {
//		初始化
		Arrays.fill(dist, 0x3f3f3f3f);
		dist[1] = 0;

		for (int i = 0; i < k; i++) {// 题目限制多少条边，那就循环多少次
			backup = Arrays.copyOf(dist, dist.length);// 数组的备份
			for (int j = 0; j < m; j++) {
				int a = edges[j].a;
				int b = edges[j].b;
				int w = edges[j].w;
//用备份的数据更新其他结点的距离。【 就是避免了 b 被更新后，下一循环再作为 a更新其他的边】
				dist[b] = Math.min(dist[b], backup[a] + w);
			}
		}
//			0x3f3f3f3f/2  是避免到不了的非联通图的情况，无穷 + 负边 < 无穷 。所以不能用无穷判断
//			为什么是 无穷 / 2  呢? 因为边的权重范围 <10000  点的数量 <500 。 所以： 无穷 - 五百万 > 无穷 / 2
		if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2)
			return 0x3f3f3f3f;
		else
			return dist[n];
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		k = sc.nextInt();
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			int a = sc.nextInt();
			int b = sc.nextInt();
			int w = sc.nextInt();
			edges[i] = new Edge(a, b, w);
		}

		int t = bellmanFord();
		if (t == 0x3f3f3f3f)
			System.out.println("impossible");
		else {
			System.out.println(t);
		}
	}

8. spfa算法

适用条件：不能有负环
时间复杂度：[最坏] O（n m）
spfa求最短路 参考地址

	static int N = 100010;
	static int n, m, idx;
	static int[] e = new int[N];// 结点数组
	static int[] w = new int[N];// 权重
	static int[] ne = new int[N];// next数组
	static int[] h = new int[N];// 头指针
	static int[] dist = new int[N];// 距离
	static boolean st[] = new boolean[N];// 结点是否已经入队

	static void add(int a, int b, int c) {
		e[idx] = b;
		w[idx] = c;
		ne[idx] = h[a];
		h[a] = idx++;
	}

	static int spfa() {
		Arrays.fill(dist, 0x3f3f3f3f);
		LinkedList<Integer> q = new LinkedList<>();// LinkedList 实现了 Queue 接口，可以当成队列用
//		初始化距离
		dist[1] = 0;
		q.add(1); // 入队用add，而不是用 push

		st[1] = true;

		while (!q.isEmpty()) {
			int t = q.poll();
			st[t] = false;

			for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
				int j = e[i];
				// 获取i点的编号，判断是否有变小，若变小，入队
				if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
					dist[j] = dist[t] + w[i];
					if (!st[j]) {
						q.add(j);
						st[j] = true;
					}
				}
			}
		}
		return dist[n];
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		Arrays.fill(h, -1);
		while (m-- > 0) {
			int a = sc.nextInt();
			int b = sc.nextInt();
			int c = sc.nextInt();
			add(a, b, c);
		}
		if (spfa() == 0x3f3f3f3f)
			System.out.println("impossible");
		else {
			System.out.println(dist[n]);
		}
	}

9. Floyd（弗洛伊德）

时间复杂度：O（n^3）
多元汇求最短路：参考地址

static int N = 210;
	static int INF = 0x3f3f3f3f;// 无穷大

	static int n, m, k, x, y, z;
	static int[][] d = new int[N][N];// 邻接矩阵

	static void floyd() {
		for (int k = 1; k <= n; k++)
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				for (int j = 1; j <= n; j++) {
					d[i][j] = Math.min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
				}
	}

//	弗洛伊德
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		k = sc.nextInt();

//		初始化邻接矩阵
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				if (i == j)
					d[i][j] = 0;// 自身与自身的距离直接是0，消去自环
				else
					d[i][j] = INF;
			}
		}

//		读入边
		while (m-- > 0) {
			x = sc.nextInt();
			y = sc.nextInt();
			z = sc.nextInt();// 权值
			d[x][y] = Math.min(d[x][y], z);// 重边取最小值
		}
		floyd();
//		读入询问
		while (k-- > 0) {
			x = sc.nextInt();
			y = sc.nextInt();
			if (d[x][y] > INF / 2)
				System.out.println("impossible");
			else
				System.out.println(d[x][y]);
		}
	}

10. Prim (普利姆)

prim 算法求最小生成树： 参考地址
时间复杂度：O(n^2)

static int N = 510;
	static int INF = 0x3f3f3f3f;
	static int n, m, u, v, w;
	static int[][] g = new int[N][N];// 邻接矩阵存图
	static int[] dist = new int[N];// 存每一个点到 【生成树】 的距离
	static boolean[] st = new boolean[N];

	static int prim() {
//		初始化距离数组
		Arrays.fill(dist, INF);
		int res = 0;// 记录最小生成树所有边的权值和

//		n个点n次迭代
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			int t = -1;// 定义 -1 为了第一点所有距离都是无穷的时候能加入到树中
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				// 找到没加入生成树中的点与集合边 中的最小边
				if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
					t = j;
			}
			if (i != 0 && dist[t] == INF)
				return dist[t];
			if (i != 0)
				res += dist[t];

			st[t] = true;

//			更新其他点到新集合的距离
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				dist[j] = Math.min(dist[j], g[t][j]);
			}
		}

		return res;
	}

	public static void main(String[] args) {
		
//		一定要初始化 图
		for (int i = 0; i < g.length; i++) {
			Arrays.fill(g[i], INF);
		}
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();

		while (m-- > 0) {
			u = sc.nextInt();
			v = sc.nextInt();
			w = sc.nextInt();
			g[u][v] = g[v][u] = Math.min(g[u][v], w);
		}
		int t = prim();
		if (t == INF)
			System.out.println("impossible");
		else {
			System.out.println(t);
		}
	}

11. Kruskal (克鲁斯卡尔)

克鲁斯卡尔算法求最小生成树（结合并查集）
时间复杂度：O（mlogm）
参考地址

	static int N = 100010;
	static int M = 200010;
	static int INF = 0x3f3f3f3f;
	static int n, m, a, b, w;
	static int[] p = new int[N];// 并查集
	static Edge[] e = new Edge[N];

//	并查集本并，返回值就是所在的 集合
	static int find(int x) {
		if (p[x] != x)
			p[x] = find(p[x]);
		return p[x];
	}

	static int kruskal() {
		int res = 0;// 记录当前生成树的权值和
		int cnt = 0;// 记录当前生成树边的数量
//		将边按权值排序  sort(char[] a, int fromIndex（包含）, int toIndex（不包含）)  
//		按升序排列数组的指定范围。
		Arrays.sort(e, 0, m);// 一定要控制范围，因为数组开大了，有未初始化的值

//		从小到大枚举所有边
		for (int i = 0; i < m; i++) {
//			获取当前边的起点和终点
			int s = e[i].s;
			int t = e[i].t;
			int w = e[i].w;

//			并查集判断两点是否在同一个 最小生成树中
			s = find(s);
			t = find(t);

			if (s != t) {// 如果不在同一个集合
				p[s] = t; // 并查集的合并
				res += w; // 更新总权重
				cnt++;
			}
		}
		if (cnt < n - 1) {// n个结点，至少要 n-1 条边才能是连通的
			return INF;
		}
		return res;
	}

	public static void main(String[] args) throws IOException {
//		大数据量输入
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		String[] s1 = br.readLine().split(" ");
		n = Integer.parseInt(s1[0]);
		m = Integer.parseInt(s1[1]);

//		初始化并查集，读入边
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			p[i] = i;
		}

		for (int i = 0; i < m; i++) {
			String[] s2 = br.readLine().split(" ");
			a = Integer.parseInt(s2[0]);
			b = Integer.parseInt(s2[1]);
			w = Integer.parseInt(s2[2]);
			e[i] = new Edge(a, b, w);
		}

		int t = kruskal();
		if (t == INF)
			System.out.println("impossible");
		else {
			System.out.println(t);
		}

	}

}

//自定义一个 Edge 类，实现 comparable 接口便于排序
class Edge implements Comparable<Edge> {
	int s;// 起点
	int t;// 终点
	int w;// 权值

	@Override
	public int compareTo(Edge e) { // 重写compareTo方法，小减大，升序
		return this.w - e.w;
	}

	public Edge(int s, int t, int w) {
		super();
		this.s = s;
		this.t = t;
		this.w = w;
	}

12. 染色法

二分图：
将所有点分成两个集合，所有边都在集合之间，那就是二分图
一定不含有奇数环
染色法判断二分图：参考地址
时间复杂度： O(n+m)

	static int N = 100010;
	static int n, m, u, v, idx;
//	邻接表存边
	static int[] e = new int[N];
	static int[] ne = new int[N];
	static int[] h = new int[N];
	static int[] st = new int[N];// 0 表示没染色 1，2 表示两种不同颜色

	static void add(int u, int v)
	{
//		u 指向 v 的边，无向图就就加来回两条
		e[idx] = v;
		ne[idx] = h[u];
		h[u] = idx++;
	}

	static boolean dfs(int u, int c)
	{
		st[u] = c;// 染色
		for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (st[j] == 0)
			{
//				神之 3 - c ,这样 c 就能间隔地取到 1 和 2 的值了
				if (!dfs(j, 3 - c))// 染色失败，说明矛盾了
					return false;
			} else if (st[j] == c)
				return false;// 当前点和邻接点颜色相同了，矛盾返回 false
		}
		return true;// 所有染色过程都成功了，返回true
	}

	public static void main(String[] args)
	{
//		初始化边头指针数组
		Arrays.fill(h, -1);
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		for (int i = 0; i < m; i++)
		{
			u = sc.nextInt();
			v = sc.nextInt();
//			无向图，加两条
			add(u, v);
			add(v, u);
		}

		boolean flag = true;// 记录是否染色成功
		for (int i = 0; i <= n; i++)
		{
			if (st[i] == 0)
			{// 点 i 没染色
				if (!dfs(i, 1))// 染色失败
				{
					flag = false;
					break;
				}
			}
		}

		if (flag)
			System.out.println("Yes");
		else
			System.out.println("No");
	}

13. 匈牙利算法

时间复杂度：O(vm) (v是一边集合的点数，m是边数)
匈牙利算法求二分图的最大匹配：参考地址

	static int N = 510;
	static int M = 100010;
	static int n1, n2, m, idx, a, b;
//	边数组一定要开 大于 M 边数 的大小
	static int[] e = new int[M];
	static int[] ne = new int[M];
	static int[] h = new int[N];
	static boolean[] st = new boolean[N];// 判断是否重复
	static int[] match = new int[N];

	static void add(int a, int b)
	{
		e[idx] = b;
		ne[idx] = h[a];
		h[a] = idx++;
	}

	static boolean find(int x)
	{
		for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) // 列举 x 结点邻接的所有边对应的点
		{
			int j = e[i];// j 是待匹配的点
//只有当 j 没被匹配才会进来，所以当第二次find（match[j]）的时候，就会给x结点分配下一个待匹配的j结点
//			如果实在没有可以匹配的了，返回 false
			if (!st[j])
			{
				st[j] = true;
				if (match[j] == 0 || find(match[j]))
				{
					match[j] = x;
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}

	public static void main(String[] args)
	{
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n1 = sc.nextInt();
		n2 = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();

//		初始化边
		Arrays.fill(h, -1);

		while (m-- > 0)
		{
			a = sc.nextInt();
			b = sc.nextInt();
			add(a, b);
		}
		int res = 0;
		for (int i = 1; i <= n1; i++)// 给左子集的所有点找匹配
		{
			Arrays.fill(st, false);// 初始化判重数组
			if (find(i))
				res++;// 给i点找匹配，成功则 res++
		}
		System.out.println(res);
	}

二、数学知识

1. 质数（素数）

试除法
O( sqrt(n) )

//	判断质数（素数）的方法
	boolean ifPrime(int x) {
		if(x < 2) return false;
//		试除法（试除到 根号x即可，因为因数是成对存在的）
/*
		例 ： 6
		1*6  2*3  3*2 6*1
		左右对称，只需枚举一半即可（根号x）		
 */
		for(int i = 2; i <= x/i; i++) {
			if(x%i == 0) return false;
		}
		return true;
	}

2. 分解质因数

参考地址：acwing案列
最坏：O( sqrt(n) )

static void divide(int x)
	{
		// 大于 根号x 的质数中 只有本身能整除本身
		for (int i = 2; i <= x / i; i++)
		{
			if (x % i == 0)
			{
				int s = 0;// 指数
				while (x % i == 0)
				{
					x /= i;
					s++;
				}
				System.out.print(i + " " + s);
			}
			System.out.println();
		}
//			当x没能被 2 到  根号x 任何一个数整除时，说明它本身就是一个质数  
		if (x > 1)
			System.out.println(x + " " + 1);
		System.out.println();
	}

3. 筛素数

参考地址：埃氏筛选法
原理：用找到的素数把后边的合数去掉
O( nlog(logn) )

	static int cnt;
	static int N = 100000010;
	static int[] primes = new int[N];
	static boolean st[] = new boolean[N];// true 表示合数

	static int getPrime(int n)
	{
		for (int i = 2; i <= n; i++)
		{
//			st[i] = false 素数
			if (!st[i])
			{
				primes[cnt++] = n;

//				把以素数为因数的数都去掉    2i，3i,4i ...
				for (int j = 2; j * i <= n; j++)//条件要控制筛选到 n
				{
					st[i * j] = true;
				}
			}
		}
		return cnt;
	}

线性筛法
O(n)

	static int N = 100010;
	static int cnt;// 存储素数的个数
	static int[] primes = new int[N];// 存储素数的数组
	static boolean[] st = new boolean[N];

	static void getPrimes(int n)
	{
		for (int i = 2; i <= n; i++)
		{
			if (!st[i])
				primes[cnt++] = i;
			
			for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
			{
// 小于最小质因子的所有 【质数 * i】 =【结果】的最小质因子 都是 当前质数 ，而且是合数所以可以去掉
				st[primes[j] * i] = true; //质数 乘以 某数 肯定时 合数
//				控制只以比最小质数小的质数 筛选，比如 20 用 2筛掉了就不会用 5再筛一次
//				因为筛到最小质数时，已经把后边要筛的都筛完了
//				例 12 = 4*3 = 2*2*3 = 2*6  而 4 筛选的都会被它的最小质因子 2 筛掉，so只要筛到 2 就够了
				if (i % primes[j] == 0)
					break; // j 从小到大开始遍历，所以 primes[j]一定是 i 的最小质因子
			}
		}
	}

4. 试除法求约数

参考地址：acwing
O ( sqrt(n) )

	/**
	 * @param x 待求约数的数
	 * @return 所有约数组成的数组
	 */
	static ArrayList<Integer> getDivitors(int x)
	{
		ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();

		for (int i = 1; i <= x / i; i++)
		{
			if (x % i == 0)
			{
				list.add(i);
				if (i != x / i)// 排除 x = i*i 时 i重复加入的情况
					list.add(x / i);
			}
		}
		list.sort(null);//传一个 null 参数就是自然升序
		return list;
	}

5. 约数个数

‍ 参考地址：acwing

	static int mod = 1000000007;

	public static void main(String[] args)
	{
		HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();// 存的是指数
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		while (n-- > 0)
		{
			int x = sc.nextInt();
			for (int i = 2; i <= x / i; i++)// i 从2开始
			{
				while (x % i == 0) //while 循环，直到开不出因数 i 为止
				{
					map.put(i, map.getOrDefault(i, 0) + 1);
					x /= i;
				}
			}
//			特判：当 x 本身就是一个质数的情况
			if (x != 1)
				map.put(x, map.getOrDefault(x, 0) + 1);
		}
		long res = 1;
		for (int i : map.values())
		{
			res = res * ((i + 1)) % mod; // 加 1 是因为有指数为 0 的情况
		}
		System.out.println(res);

	}

6. 约数求和

约数和定理：百度百科

把每一项乘出来就是 n 的所有约数相加了
参考地址

	static long mod = 1000000007;

	public static void main(String[] args)
	{
		HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();

		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		while (n-- > 0)
		{
			int x = sc.nextInt();
			for (int i = 2; i <= x / i; i++)
			{
				while (x % i == 0)
				{
					map.put(i, map.getOrDefault(i, 0) + 1);
					x /= i;
				}
			}
			if (x != 1)
				map.put(x, map.getOrDefault(x, 0) + 1);
		}
		long res = 1;
//	根据约数和定理
		for (int p : map.keySet()) 
		{
		//① 先求每一个小括号里的值
			long sum = 0;
			int a = map.get(p);
			long t = 1;
//			这里 p 是底数  a 是指数
			while (a-- > 0)
			{
/*				加一 ？ 例：2 的 4次  或者说 +1 就是 p 的 0 次幂
			a	t	p	t = t * p + 1
			3	1	2	t = 1 * 2 + 1 = 3
			2	3   2	t = 3 * 2 + 1 = (2 + 1) * 2 + 1 = 2^2 + 2^1 + 2^0  = 7
			1	7   2   t = 7 * 2 + 1 = (2^2 + 2^1 + 2^0) * 2 + 1 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 1 = 15
			总结 *p 就是之前的 t 所有的 p 指数 +1，但是 0 次方的就消掉了，然后每次都得补上 +1
*/				
				t = (t * p + 1) % mod;
			}
//			② 把的每一个值乘起来就是所有约数的和了
			res = res * t % mod;
		}
		System.out.println(res);
	}

7. 最大公约数

✨ 辗转相除法（欧几里得算法）
✨ O( log n)

	static long gcd(long a, long b)
	{	
/*  辗转相除法
	求   a,b 的公约数   == 求 a,b+ka 的公约数
	例：求公约数的数   公约数
	   12，18 		   6
	   12，18+12=30	   6
	   30	18		   6
	   12，18+24=42    6   总结可知：a,b 的公约数 ==  a,b%a 的公约数
 */
		return b != 0 ? gcd(b, a % b) : a;

	}

8. 欧拉函数

✨ 欧拉函数求互质的数的个数：参考地址

✨ 互质数：只有一个共同公因数 1 的两个数

public static void main(String[] args)
	{
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		while (n-- > 0)
		{
			int a = sc.nextInt();
			int res = a;
			for (int i = 2; i <= a / i; i++)
			{
				if (a % i == 0)// 条件成立，i 就是 a 的一个质因子
				{
//					欧拉方程
//					res = res *(1-1/i);//整除运算不能有小数， 1/i 得换掉，把 1/i 提出去
					res = res / i * (i - 1);

					while (a % i == 0)//只要 a 还有 i 这个质因子就进去
						a /= i;
				}
			}
			if (a > 1)//质因子只有1和本身的情况
				res = res / a * (a - 1);
			System.out.println(res);
		}
	}

9. 筛法求欧拉函数

✨ 参考地址
✨ 思路分析

	static int N = 1000010, cnt;
	static int[] primes = new int[N];// 素数数组
	static int[] phi = new int[N]; // 欧拉数组
	static boolean[] st = new boolean[N];

	static long getEulers(int n)
	{
		phi[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= n; i++)
		{
			if (!st[i])
			{
				primes[cnt++] = i;
				phi[i] = i - 1;// 素数的情况
			}
			for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
			{
				st[primes[j] * i] = true;
				if (i % primes[j] == 0)
				{
					phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
					break;
				}
				phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
			}
		}
		long res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			res += phi[i];
		return res;

	}

	public static void main(String[] args)
	{
//		测试案例 
//		输入 6  输出 12
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		System.out.println(getEulers(n));
	}

10. 快速幂

✨ 参考传送门
✨ O( Log k)
✨ 注意：10的9次方已经达到 int 的临界值，要用 long 类型

/**快速幂
	 * @param a 底数
	 * @param k 幂数
	 * @param p 模
	 * @return a ^ k % p = ?
	 */
	static int qmi(int a, int k, int p)
	{
		int res = 1;
		while (k != 0)
		{
			if ((k & 1) != 0)
			{
				res = res * a % p;
			}
			k >>= 1;// k/2
			a = a * a % p;

		}
		return res;
	}

✨ 快速幂求逆元
✨ 乘法逆元的作用
✨ 费马小定理
✨ 思路：先化简，然后观察方程，刚好符合费马小定理，然后套快速幂公式

/**
	 * 快速幂
	 * 
	 * @param a 底数
	 * @param k 幂数
	 * @param p 模
	 * @return a ^ k % p = ?
	 */
	static int qmi(int a, int k, int p)
	{
		int res = 1;
		while (k != 0)
		{
			if ((k & 1) != 0)
			{
				res = res * a % p;
			}
			k >>= 1;// k/2
			a = a * a % p;

		}
		return res;
	}

	public static void main(String[] args)
	{
//		快速幂求逆元
		int a = 6;
		int p = 3;
		int res = qmi(a, p - 2, p);
		if (a % p != 0) // a 不能是 p 的倍数，并且 p 不等于 2
		{
			System.out.println(res);
		} else
		{
			System.out.println("impossible");
		}
	}

11. 扩展欧几里得算法

✨ 参考传送门

	static int x, y, tem;
	
//	扩展欧几里得算法
	static int x, y, tem;

//	扩展欧几里得算法
	static int exGcd(int a, int b)
	{
		if (b == 0)
		{
			x = 1;
			y = 0;
			return a;
		}
		int gcd = exGcd(b, a % b);
		tem = x;
		x = y;
		y = tem;
		y -= a / b * x;
		return gcd;
	}

	public static void main(String[] args)
	{
//		exGcd(4, 6);//  -1 1
		exGcd(8, 18);// -2 1
		System.out.println(x + " " + y);
	}

12. 高斯消元

✨ 死去的线性代数正在攻击我的脑子……
✨ 核心思路：初等行变换

✨ 参考传送门

	static int N = 110;
	static double eps = 0.000001;// 极小值，由于 double 精度问题，只要某数小于 eps 即是 0
	static double[][] a = new double[N][N];// 注意从下标 1 开始存数据
	static int n;// 记录有多少方程组

	/**
	 * @return 0代表唯一解，1代表无穷多组解，2代表无解
	 */
	static int gauss()
	{
		int c = 1;// 当前列 colum
		int r = 1;// 当前行 row

		for (c = 1; c <= n; c++)// 遍历每一行
		{
			int t = r;// 临时变量记录当前列绝对值最大的行
//			1. 找出绝对值最大的行
			for (int i = r; i <= n; i++)
			{
				if (Math.abs(a[i][c]) > Math.abs(a[t][c]))
					t = i;// 更新最大值所在行
			}

//			当 a[t][c] == 0 时，说明此行已经处理过了。注意：a[t][c]在这一列中绝对值最大
			if (Math.abs(a[t][c]) < eps)
				continue;

//			2. 将选中的这一行调到未处理行中 的最上面
			if (t != r)
			{
//				交换行
				for (int j = c; j <= n + 1; j++)
				{
					double tem = a[t][j];
					a[t][j] = a[r][j];
					a[r][j] = tem;
				}
			}

//			3. 将首位非零的数化成 1
			for (int j = n + 1; j >= c; j--)
			{
				a[r][j] /= a[r][c];
			}

//			4. 将 该列 本行之下 的所有元素都置为 0
			for (int i = r + 1; i <= n; i++) // 此时 i 表示要置 0 的行标
			{
				if (Math.abs(a[i][c]) > eps)// 不等于 0 进来
					for (int j = n + 1; j >= c; j--)// 注意：从后边开始减去 （ 1* 不为0的元素值 ）
						a[i][j] = a[i][j] - a[i][c] * a[r][j];
			}
//			print();
			r++;
		}

//		走了continue，说明有一列全都是 0，即 0*x = ？，如果方程右边不是 0 ，w无解
		if (r < n + 1)// 方程数小于 n
		{
			for (int i = r; i <= n; i++)// ?
				if (Math.abs(a[i][n + 1]) > eps)
					return 2;// 无解

			return 1;// 无穷多解

		}

//		然后就是唯一解的情况
//		最后一个解已知，借助最后一个解，求出其他的解
		for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
		{
//		 每次都是从对角线上的元素后一个元素开始解
//		（通过下边已知的解把对应的列化0，使该行只剩下对角线上的系数不为 0 ）
			for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			{
				a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1];// 此时，a[j][n+1] == 1
			}
		}
		return 0;
	}
	/*
	输入：
	3
	1.00 2.00 -1.00 -6.00
	2.00 1.00 -3.00 -9.00
	-1.00 -1.00 2.00 7.00
			
	输出
	1.00
	-2.00
	3.00
		
	 */
	public static void main(String[] args)
	{

	
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
			{
				a[i][j] = sc.nextDouble();
			}
		}

		int t = gauss();

//		0 代表唯一解，1代表无穷解，2代表无解
		if (t == 0)
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				System.out.println(a[i][n + 1]);
		else if (t == 1)
			System.out.println("Infinite group solutions");
		else
			System.out.println("No solution");

	}

//	输出调试
	static void print()
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
				System.out.printf("%4f    ", a[i][j]);
			System.out.println();
		}
		System.out.println();
	}

13. 组合数

（1）组合数 1

✨ 案列传送门
✨ 核心思路：c[ i ][ j ] = c[ i-1 ][ j-1 ] + c[ i-1 ][ j ] 【预处理】

	static int N = 2010, mod = 1000000007;
	static int[][] c = new int[N][N];// 组合数 数组

//	预处理
	static void init()
	{
		for (int i = 0; i < N; i++)
			for (int j = 0; j <= i; j++)
				if (j == 0)//处理边界
					c[i][j] = 1;
				else
				{
// 从i个数选j个数 = 【（选定一个数）再从 i-1 个数 挑 j-1 个数】+ 【（不选某个数）从i-1 个数中挑 j 个数】
					c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
				}
	}

	public static void main(String[] args)
	{
		/*
		输入： 
		3  
		3 1     
		5 3
		2 2	
		输出：
		3
		10
		1	
		 */
		init();
//		测试案例
		System.out.println(c[3][1]);
		System.out.println(c[5][3]);
		System.out.println(c[2][2]);
	}

（2）组合数 2

✨ 乘法逆元
✨ 参考传送门
✨ 注意转为 long 类型防止溢出
✨ 两层强转注意小括号表明嵌套关系

static int N = 100010, mod = (int) 1e9 + 7;
	static int[] fact = new int[N];// 阶乘 数组
	static int[] infact = new int[N];// 逆元数组

	/**
	 * @param a 底数
	 * @param k 指数
	 * @param p 模
	 * @return
	 */
	static int qmi(int a, int k, int p)
	{
		long res = 1;
		while (k > 0)
		{
			if ((k & 1) != 0)
				res = res * a % p;
// 			
			a = (int) ((long) a * a % p);
//			a = (int) (long) a * a % p;   错误案例
//			两层强转的时候后边的待强转数要加 小括号
			k >>= 1;
		}
		return (int) res;
	}

	public static void main(String[] args)
	{
		fact[0] = infact[0] = 1;// 初始化
		for (int i = 1; i < N; i++)
		{
//			求阶乘
			fact[i] = (int) (long) fact[i - 1] * i % mod;
//			求逆元的阶乘
			infact[i] = (int) ((long) infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod);
		}

		int a = 5;
		int b = 3;
//		输出 10
//		c[a][b] = a! / ( (a-b)! * b! )
		System.out.println((int) ((long) fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod));
	}

（3）组合数 3

✨ 鲁卡斯定理

✨ 参考传送门
✨ 注意运算过程中的溢出问题

	static long p;

//	快速幂
	static long qmi(long a, long k)
	{
		long res = 1;
		while (k > 0)
		{
			if ((k & 1) == 1)
				res = res * a % p;
			a = a * a % p;
			k >>= 1;
		}
		return res;
	}

//	计算组合数的方法
	/**
	 * @param a 上标
	 * @param b 下标
	 * @return 组合数的值
	 */
	static long C(long a, long b)
	{
		long res = 1;
//		从 a 向下乘 b 步，然后除以 b的阶乘（乘以其逆元）
		for (int i = 1, j = (int) a; i <= b; i++, j--)
		{
			res = res * j % p;
			res = res * qmi(i, p - 2) % p;
		}
		return res;
	}

	static long lucas(long a, long b)
	{
		if (a < p && b < p)
			return C(a, b);

		return C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;

	}

	public static void main(String[] args)
	{
//		测试数据
		long a = 6;
		long b = 4;
		p = 13;
		System.out.println(lucas(a, b));
	}

（3）组合数 4

✨ 求质因子的个数
✨ 例：求 12！ 中 有多少个2相乘


✨ 参考传送门

	static int N = 5050;
	static int cnt;//默认自动初始化为 0
	static int[] primes = new int[N];//质数数组
	static int[] sum = new int[N];//记录质数的指数（即有多少个 特定质数 相乘）
	static boolean[] st = new boolean[N];//已筛标志 数组
	static ArrayList<Integer> res = new ArrayList<>();
	
//	线性筛（质数）
	/**
	 * @param n 筛选 0~n 的质数
	 */
	static void getPrimes(int n)
	{
		for(int i =2; i <= n; i++)
		{
			if(!st[i])
				primes[cnt++] = i;
			for(int j =0; primes[j] <= n/i; j++)
			{
				st[primes[j]*i] = true;
				if(i % primes[j] == 0) break;
			}
		}
	}
	
//	高精度乘法（从低位开始算）
	static void multi(int b)
	{
		int t = 0;
		for(int i = 0; i < res.size(); i++)
		{
			t += res.get(i) * b;
			res.set(i, t%10);
			t /=10;//存进位
		}
		while(t>0)
		{
			res.add(t%10);
			t /= 10;
		}
//		消去高位的 0
		while(res.size()>1 && res.get(res.size()-1) ==0)
			res.remove(res.size()-1);
	}
	
	static int get(int n,int p)
	{
		int res = 0;
		while(n>0)
		{
			res += n/p;
			n /= p;
		}
		return res;
	}
	
	public static void main(String[] args)
	{
		int a = 5,b = 3;//求 C[b][a] , 输出 10
		
		getPrimes(a);
		
		for(int i =0; i<cnt;i++)
		{
			int p = primes[i];
//			a! 中 p的指数  -  b! 中p的指数  -  （a-b）! 中p的指数
//		==  [a]/([b]*[a-b])	（简版）
			sum[i] = get(a,p) - get(b,p) - get(a-b,p);
		}
		
		res.add(1);//初始化为 1，默认 0 ，无法乘
		for(int i =0; i < cnt; i++)
			for(int j = 0; j < sum[i]; j++)
				multi(primes[i]);// 全局 res 乘上 每一个prime
		
//		结果输出
		for(int i = res.size()-1; i >=0;i--)
		{
			System.out.print(res.get(i));
		}
	}

14. 卡特兰数

✨ 题目传送门
✨ 核心公式：C(2n,n) /（n+1） 【C是组合数】

	static int mod = (int) 1e9 + 7;

//	快速幂求逆元，模p 必须为质数
	static int qmi(int a, int k, int p)
	{
		int res = 1;
		while (k > 0)
		{
			if ((k & 1) == 1)
				res = (int) ((long) res * a % mod);
			a = (int) ((long) a * a % mod);
			k >>= 1;
		}
		return res;
	}

	public static void main(String[] args)
	{
		int n = 3;// 假装是输入的测试数据
		int a = 2 * n;
		int b = n;

		int res = 1;
//		求 ：A[b][a]
		for (int i = a; i >= a - b + 1; i--)
			res = (int) ((long) res * i % mod);

//		求b!
		for (int i = b; i >= 1; i--)
			res = (int) ((long) res * qmi(i, mod - 2, mod) % mod);
//		再除以 n+1  ==  乘以 n+1 的逆元
		res = (int) ((long) res * qmi(n + 1, mod - 2, mod) % mod);

		System.out.println(res); // 输出 5
	}

15. 容斥定理

✨ 容斥原理
✨ 参考传送门
✨ 求能被整除的数

	static int N = 20, n, m;
	static int[] p = new int[N];// 质数数组

	public static void main(String[] args)
	{
		n = 10;// 被除数
		m = 2; // m 个除数 p
		p[0] = 2;
		p[1] = 3;
//		输出 7

		int res = 0;
//		遍历从 1 ~ 2^n-1
//		2^n  == 1左移 m 位
		for (int i = 1; i < 1 << m; i++)//这里的每一个 i 都代表着一种方案
		{
			int t = 1;// 质数的乘积
			int s = 0;// 选了几个集合

//			这里是解析 i 方案对应的质数，二进制 1 代表有这个质数因子
			for (int j = 0; j < m; j++)
			{
				if ((i >> j & 1) == 1)
				{
					if ((long) t * p[j] > n)
					{
						t = -1;
						break;
					}
					t *= p[j];
					s++;
				}
			}

			if (t != -1)
			{
				if (s % 2 == 1)
					res += n / t;
				else
					res -= n / t;
			}
		}
		System.out.println(res);
	}

16. 博弈论

（1）nim游戏

✨ 传送门
✨ 核心：
所有数按位与（^）== 0，先手必败
否则，先手必胜

	/*
	先手必胜状态：先手操作完，可以走到某一个必败状态
	先手必败状态：先手操作完，走不到任何一个必败状态
	先手必败状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an = 0
	先手必胜状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an ≠ 0
	*/

	public static void main(String[] args)
	{
		int n = 2;
		int x1 = 1;
		int x2 = 1;
//		输出必败 No
		int res = 0;// 0 ^ x = x
//		for(int i = 0; i < n; i++)
//		{
//			res ^= x;
//		}
		res = res ^ x1 ^ x2;
		if (res == 0)
			System.out.println("No");
		else
		{
			System.out.println("Yes");
		}
	}

（2）集合Nim游戏

参考传送门
mex函数： 设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即:mex(S)= min(x]x属于自然数，且x不属于S。例：mex（{0,1,3}）= 2;
sg函数：根据终点态 sg（终点）= 0 逆推出每个节点的态

	static int M = 110, N = 10010, k;
	static int s[] = new int[M]; // 数字集合（每次可取多少颗石子）
	static int sg[] = new int[N]; // 存放某个数的SG函数的值

	public static void main(String[] args)
	{
		/*输入案例，输出 Yes
		2
		2 5
		3
		2 4 7
		*/
		Arrays.fill(sg, -1);
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		k = sc.nextInt(); // k代表数字集合里有多少个数
		for (int i = 0; i < k; i++)
		{
			s[i] = sc.nextInt();
		}
		int n = sc.nextInt();//
		int res = 0;
		while (n-- > 0)
		{
			int x = sc.nextInt();
			// 直接异或sg函数的和 进行判断
			res ^= sg(x);
		}
		System.out.println(res != 0 ? "Yes" : "No");
	}
	// 递归 sg 有点难搞 debug看看
	static int sg(int x)
	{
		if (sg[x] != -1)
			return sg[x]; // 若sg存在直接返回出来
		// 每次递归新创建一个set集合，便于求最小自然数
		HashSet set = new HashSet<>();
		// 枚举集合中每一个数 进行比较
		for (int i = 0; i < k; i++)
		{
			if (x >= s[i])
			{
//				取了 s[i] 个石子的方案
				set.add(sg(x - s[i])); // 递归往set集合中添加sg函数
			}
		}
		// 在集合中找，最小的不存在的值
		for (int i = 0; i <= N; i++)
		{
			if (!set.contains(i))
			{
				return sg[x] = i;// 找到，保存，返回
			}
		}
		return 0;
	}