杨辉三角按列求和

假设求杨辉三角这一列

我们考虑这个格子：

然后对其不断展开

综上：

$$\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)$$

$$\sum _{i=l}^r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{k+1}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{k+1}\right)$$