Leetcode376. 摆动序列——混合贪心的动态规划

---

前言

这是一道贪心及动态规划方面的题。做这道题的时候看官方题解的思路，我理解了好久才想通≡(▔﹏▔)≡在这里记录下我的推导思路，和官方有些区别；如果大家理解不了官方题解，可以看看这篇博文，希望有些帮助~

本文参考leetcode官方题解

---

一、题目描述

原题链接

原序列用$nums$表示。题目中需要注意的是一个元素就可以构成摆动序列，两个不同的元素就构成一个长度为2的摆动序列。

二、解题思路

我们使用动态规划的方法解题，但是在状态转移方程的推导过程中，需要根据贪心的思想！所以下面先介绍本题的贪心思想，再进行动态规划的思路讲解。

1.概念定义

为了方便叙述，我们先定义一些简单的小概念，大家要记住哦：

2.贪心思想

我先直接写出解决本题需要的贪心思想：在原序列中，我们按照上升/下降趋势交替地选择[谷]和[峰]（即…-[谷]-[峰]-[谷]-[峰]-…），这样可以使最终得到的摆动序列最长。原序列的首尾元素会依照上升/下降趋势出现在最长摆动序列中。

该思路的证明在官方题解中有讲，但是感觉不好理解。我们可以直观地想一下（可能并不严谨）：

1. 当我们处在上升趋势中时，下一个元素应该下降。如果我们选择一个尽可能小的数，之后的元素比当前选择元素大的概率就高，获得的摆动序列就可能更长；
2. 当我们处在下降趋势中时，下一个元素应该上升。如果我们选择一个尽可能大的数，之后的元素比当前选择元素小的概率就高，获得的摆动序列就可能更长。

对于“原序列的首尾元素会依照上升/下降趋势出现在某一种摆动序列中”这句话，大家可能会有疑惑，下面来解释一下：

我们已经知道序列的首尾元素要么是[谷]，要么是[峰]（如果它们和相邻元素相等，那就忽略掉相邻元素，当作其不存在就好）。由于序列的首元素就是一个[谷]/[峰]，所以按照贪心思想我们一定要它，之后按照上升/下降趋势交替地选择[谷]和[峰]，一直遍历到尾元素；

如果尾元素是[谷]，它前面一定有被选择的[峰]，那么为了使摆动子序列最长，一定会把尾元素加进去，最终得到的最长摆动子序列结尾呈下降趋势；同理，若尾元素是[峰]，最长的摆动子序列结尾一定呈上升趋势。

3.动态规划求解

理解了贪心算法后，我们再来看如何应用动规解题。

首先，确定状态表达式。
（大家可以先回顾一下前面定义的小概念）

1. 用$up[i]$表示以前$i$个元素中的某一个元素为结尾的最长[上升摆动序列]的长度；
2. 用$down[i]$表示以前$i$个元素中的某一个元素为结尾的最长[下降摆动序列]的长度；

下面，推导状态转移方程。

我们遍历$nums$（即原始序列），在遍历到$nums[i]$时，考虑$up[i],down[i]$的更新。注意当前关注的子序列是$nums[:i+1]$。

这里根据$nums[i]$的值可以分成三种情况：
（推导预警）

1. $nums[i]>nums[i-1]$
   （1）若在子序列$nums[:i]$中$nums[i-1]$是[峰]，那么$up[i-1]$对应的最长摆动序列是以$nums[i-1]$为结尾的。这时，
   $up[i]=up[i-1]$（只是把$nums[:i]$中最长[上升摆动子序列] 的最后一个[峰]，更新为$nums[i]$，新上升摆动序列长度不会变）
   $down[i]=down[i-1]$（$nums[i]$比$nums[i-1]$还大，因此不会对前面的最长[下降摆动子序列] 产生影响）
   （2）若在子序列$nums[:i]$中$nums[i-1]$是[谷]，那么 $down[i-1]$对应的最长摆动序列是以$nums[i-1]$为结尾的 。这时，
   $up[i]=down[i-1]+1$（这时可以把$nums[i]$当作下一个[峰]，加入到前面的下降摆动子序列的末尾，得到更长的新上升摆动子序列）
   $down[i]=down[i-1]$（原因同上）

综合前面两种小情况，可得，$up[i]=max(down[i-1]+1,up[i-1])$ （二者取最大）, $down[i]=down[i-1]$

2. $nums[i]<nums[i-1]$
   （1）若在子序列$nums[:i]$中$nums[i-1]$是[峰]，那么$up[i-1]$对应的最长摆动序列是以$nums[i-1]$为结尾的。这时，
   $up[i]=up[i-1]$（$nums[i]$比$nums[i-1]$小，因此不会对前面的最长[上升摆动子序列] 产生影响）
   $down[i]=up[i-1]+1$（这时可以把$nums[i]$当作下一个[谷]，加入到前面的上升摆动子序列的末尾，得到更长的新下降摆动子序列）
   （2）若在子序列$nums[:i]$中$nums[i-1]$是[谷]，那么$down[i-1]$对应的最长摆动序列是以$nums[i-1]$为结尾的。这时，
   $up[i]=up[i-1]$（原因同上）
   $down[i]=down[i-1]$（只是把$nums[:i]$中最长[下降摆动子序列] 的最后一个[谷]，更新为$nums[i]$，新下降摆动序列长度不会变）

综合前面两种小情况，可得，$up[i]=up[i-1])$ , $down[i]=max(down[i-1],up[i-1]+1)$（二者取最大）

3. $nums[i]=nums[i-1]$
   相等的情况下，不会对前面获得的最长摆动子序列产生任何影响，因此
   $up[i]=up[i-1]$
   $down[i]=down[i-1]$

最后在遍历完$nums$后，我们返回$up[n-1],down[n-1]$（$n=len(nums)$）中的最大值作为结果。

三、完整代码

class Solution:
    def wiggleMaxLength(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n < 2:
            return n
        
        up = [1] + [0] * (n - 1)
        down = [1] + [0] * (n - 1)
        for i in range(1, n):
            if nums[i] > nums[i - 1]:
                up[i] = max(up[i - 1], down[i - 1] + 1)
                down[i] = down[i - 1]
            elif nums[i] < nums[i - 1]:
                up[i] = up[i - 1]
                down[i] = max(up[i - 1] + 1, down[i - 1])
            else:
                up[i] = up[i - 1]
                down[i] = down[i - 1]
        
        return max(up[n - 1], down[n - 1])

由于在状态转移的过程中，当前状态只和上一个状态有关，因此我们可以进行以下简化，降低空间复杂度：

class Solution:
    def wiggleMaxLength(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n < 2:
            return n
        
        up = down = 1
        for i in range(1, n):
            if nums[i] > nums[i - 1]:
                up = max(up, down + 1)
            elif nums[i] < nums[i - 1]:
                down = max(up + 1, down)
        
        return max(up, down)

---

总结

讲道理，这题好绕啊，虽然写出来的代码看上去很简单，但是想明白就需要花时间了…动态规划的状态转移方程推导着实是最难的部分，需要耐心。

每个人可能都有自己的理解方式，有时候官方题解里面的不一定适合自己理解，最好还是用自己的方式推一遍。
这个题解我写的也好不容易啊〒▽〒 希望有帮助吧~