蓝桥杯DP专题
线性DP
1.数字三角形
刷题链接: link.
给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输入格式
第一行包含整数n，表示数字三角形的层数。
接下来n行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。
输出格式
输出一个整数，表示最大的路径数字和。
数据范围
1≤n≤500,
−10000≤三角形中的整数≤10000
输入样例：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出样例：
30
思路:
参考代码：
#include
#include
using namespace std;
const int N=510,INF=1e9;
int a[N][N],f[N][N];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=i+1;j++)
f[i][j]=-INF;
f[1][1]=a[1][1];
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
f[i][j]=a[i][j]+max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]);
int res=-INF;
for(int i=1;i<=n;i++)
res=max(res,f[n][i]);
printf("%d",res);
return 0;
}
2.最长上升子序列
刷题链接: link.
对于一串数A={a_1,a_2,a_3…a_n}，它的子序列为S={s_1,s_2,s_3…s_n}S=s1 ,s2,s3…sn,满足 {s_1 < s_2 < s_3 < … < s_m} 。求AA的最长子序列的长度。
输入格式
第一行是一个整数n(1<=n<=1000)。
第二行是nn个数，每个数之间以一个空格隔开。每个数的范围均在intint型范围内。
输出格式
输出最长上升子序列的长度。
样例输入
5
3 5 4 2 1
样例输出
2
思路:
参考代码:
#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int dp[N],a[N];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i]=1;
for(int j=1;j 3.最长上升子序列Ⅱ（优化）
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给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数N。
第二行包含N个整数，表示完整序列。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N≤100000，
−109≤数列中的数≤109
输入样例：
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例：
4
优化思路:
参考代码:
#include
#include
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],q[N];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i>1;
if(q[mid] 4.最长公共子序列
刷题链接: link.
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给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。
输入格式
第一行包含两个整数N和M。
第二行包含一个长度为N的字符串，表示字符串A。
第三行包含一个长度为M的字符串，表示字符串B。
字符串均由小写字母构成。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N,M≤1000
输入样例：
4 5
acbd
abedc
输出样例：
3
参考思路:
参考代码:
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
char a[N],b[N];
int dp[N][N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m>>a+1>>b+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
if(a[i]==b[j])
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
}
printf("%d",dp[n][m]);
return 0;
}
5.最短编辑距离
刷题链接: link.
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给定两个字符串A和B，现在要将A经过若干操作变为B，可进行的操作有：
删除–将字符串A中的某个字符删除。
插入–在字符串A的某个位置插入某个字符。
替换–将字符串A中的某个字符替换为另一个字符。
现在请你求出，将A变为B至少需要进行多少次操作。
输入格式
第一行包含整数n，表示字符串A的长度。
第二行包含一个长度为n的字符串A。
第三行包含整数m，表示字符串B的长度。
第四行包含一个长度为m的字符串B。
字符串中均只包含大写字母。
输出格式
输出一个整数，表示最少操作次数。
数据范围
1≤n,m≤1000
输入样例：
10
AGTCTGACGC
11
AGTAAGTAGGC
输出样例：
4
参考思路:
参考代码:
#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
char a[N],b[N];
int dp[N][N];
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%s",&n,a+1);
scanf("%d%s",&m,b+1);
for(int i=0;i<=m;i++)
dp[0][i]=i;
for(int i=0;i<=n;i++)
dp[i][0]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1);
if(a[i]==b[j])
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i][j]);
else
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+1,dp[i][j]);
}
}
printf("%d",dp[n][m]);
return 0;
}
6.编辑距离
刷题链接: [link]https://www.acwing.com/problem/content/901/).
给定n个长度不超过10的字符串以及m次询问，每次询问给出一个字符串和一个操作次数上限。
对于每次询问，请你求出给定的n个字符串中有多少个字符串可以在上限操作次数内经过操作变成询问给出的字符串。
每个对字符串进行的单个字符的插入、删除或替换算作一次操作。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来n行，每行包含一个字符串，表示给定的字符串。
再接下来m行，每行包含一个字符串和一个整数，表示一次询问。
字符串中只包含小写字母，且长度均不超过10。
输出格式
输出共m行，每行输出一个整数作为结果，表示一次询问中满足条件的字符串个数。
数据范围
1≤n,m≤1000,
输入样例：
3 2
abc
acd
bcd
ab 1
acbd 2
输出样例：
1
3
参考代码:
#include
#include
#include
using namespace std;
const int M=1010,N=15;
char str[M][N];
int dp[N][N];
int dis(char a[],char b[])
{
int la=strlen(a+1);
int lb=strlen(b+1);
for(int i=0;i<=lb;i++)
dp[0][i]=i;
for(int i=0;i<=la;i++)
dp[i][0]=i;
for(int i=1;i<=la;i++)
for(int j=1;j<=lb;j++)
{
dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1);
if(a[i]==b[j])
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i][j]);
else
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+1,dp[i][j]);
}
return dp[la][lb];
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i 7.石子合并
刷题链接: link.
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设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。
每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2， 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；
如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。
输入格式
第一行一个数N表示石子的堆数N。
第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。
输出格式
输出一个整数，表示最小代价。
数据范围
1≤N≤300
输入样例：
4
1 3 5 2
输出样例：
22
参考思路:
参考代码:
#include
#include
using namespace std;
const int N=310;
int s[N],f[N][N];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&s[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
s[i]+=s[i-1];
for(int len=2;len<=n;len++)
{
for(int i=1;i+len-1<=n;i++)
{
int l=i,r=i+len-1;
f[l][r]=1e9;
for(int k=l;k