傅里叶变换

傅里叶变换

原文
一切的波形都可以用正弦波叠加得到（“任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示）。

傅里叶展开，是将一个周期性函数，改写成一系列正弦函数和余弦函数的级数之和，且该“和”的极限，与原函数相等。

傅里叶级数在时域是一个周期且连续的函数，在频域是一个非周期离散的函数；傅里叶变换则是将一个时域非周期连续的信号转换为频域非周期的连续函数。傅里叶变换可以看作一个周期无穷大的傅里叶级数。

许多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域反而很容易。时域到频域的变换只是一种表达方式的转变，便于直接从表达式中观察出它的频率成分

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换就是求出一个信号是由那些正弦波叠加而成的，求出的结果就是这些正弦波的振幅和相位。

振幅

可以利用i信号的相关性检验信号波中是否含有某个频率的信号波，具体操作就是信号进行卷积。两个信号相乘点对点相乘得到结果再相加，就可以判断两个信号的相似程度，这就是离散傅里叶变换的思想。DFT将待测信号和很多不同频率的正弦波和余弦波相乘，从而可以计算出信号中含有的正弦波的幅度。幅值即是两信号卷积的结果，幅值同时也反应两信号的相关程度。

图一为待测信号，图二是待卷积的频率为1的正弦波，卷积结果为图三。图三各点之和结果为10，意味着图一含有频率为1的振幅为1.25正弦波( 10 / (N / 2) = 1.25， N为DFT用到的点数 )。

DFT的实现

DFT公式$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-\frac{2\pi }{N}kn},(k=0,1,...N-1)$$其中X(n)表示DFT变换后的数据，x(n)为采样的模拟信号。利用欧拉公式展开得$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)(cos2\pi k\frac{n}{N}-jsin2\pi k\frac{n}{N}),(k=0,1,2,...,N-1)$$可以看出DFT就是原信号对cos和sin进行相乘求和，k代表和频率为多少的正弦相关；n/N是在一个正弦周期内采样N个点，采样间隔为$\frac{2\pi }{N}$，n用来步进(stepping)，一次步进$\frac{2\pi }{N}$，最后累加求和就得到X(k)

首先变换之后的结果数据长度和原始采样信号是一样的，且每一个变换之后的值是一个复数a+bj。FFT得到的复数的模就是对应的振幅谱，复数对应的角度就是对应得相位谱。

采样频率和采样定理

采样频率

定义了每单位时间从连续信号中提取并组成离散信号得采样个数，其倒数称为采样时间间隔。

采样定理

采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的两倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。所以，要保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍。

采样定理：在对连续信号离散化的过程中，或多或少的会损失一些信息，采样定理说明了采样频率和信号频率之间的关系，是连续信号离散化的基本依据