Python每日一练-----python实现Pow(x,y)

☀（day48：P45）

目录

题目：

题目分析：

解题思路：

解法一：快速幂+递归

代码实现

✏代码注释 

解法二：快速幂 + 迭代

代码实现

✏代码注释 

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题目：

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn ）。

⭐示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10

输出：1024.00000

⭐示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3

输出：9.26100

⭐示例 3：

输入：x = 2.00000, n = -2

输出：0.25000

解释说明：2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

题目分析：

对于C语言中的pow(x,y)，表示x的y次方。我们当然可以使用python的次方算法，x ** y，也表示x的y次方。下面我们介绍其他计算x的y次方的两种方法。

解题思路：

解法一：快速幂+递归

快速幂算法的本质是分治算法。

举个例子，如果我们要计算，我们可以按照：
x→→→→→x→

的方式计算

再如计算次方，我们可以按照：

x→→→→→→

（2*2 = 4， 4*2 = 8， 9*2 = 18， 19*2 = 38，38*2 = 76）

的方式计算

在的计算过程中，我们直到x的幂不都是以2倍增长，有些情况下需要额外乘一个x。

那么我们怎么直到什么时候乘上一个额外的x？

所以该方法实现起来是比较困难的。

所以我们可以先使用递归计算出     ,"//"表示整除，令y = 。

接着判断n是奇数还是偶数

如果n是偶数，那么n/2为整数， = y *y= *  

 如果n是奇数，那么n/2不可整除， = y*y*x= *   * x

 

既然使用递归，那么我们判断递归的边界条件，我们很容易看出递归边界条件为1，我们使用递归时，给递归函数传入的参数为n，当n等于0时，计算结果为1，任何数的0次方都=1.

 

代码实现

def myPow(x, n):
    def quickMul(N):
        if N == 0:
            return 1.0
        y = quickMul(N // 2)

        return y * y if N % 2 == 0 else y * y * x

    return quickMul(n) if n >= 0 else 1.0 / quickMul(-n)

✏代码注释 

def myPow(x, n):
    def quickMul(N):
        if N == 0:  # 递归边界条件
            return 1.0
        y = quickMul(N // 2)  # 用递归计算 y = x^(n//2)
        
        return y * y if N % 2 == 0 else y * y * x  # 实际上y的值在这里计算 
    
    # 如果时负次幂则转换成正幂，再将结果用分式计算得到正确答案
    return quickMul(n) if n >= 0 else 1.0 / quickMul(-n)  

时间复杂度：O(logn)，即为递归的层数。

空间复杂度：O(logn)，即为递归的层数。这是由于递归的函数调用会使用栈空间。

解法二：快速幂 + 迭代

我们分析的计算过程

x→→→→→→

 

我们从右往左看

第一个乘额外的x在 →这一步，这个额外乘的x在中占有x

第二个 乘额外的x在 →  这一步，这个额外乘的x再经过后面x^19到x^38和x^38到x^77 两步计算中进行了两次平方，所以这个额外乘的x在中占有（x^2)^2 = x^4

第三个 乘额外的x在 → 这一步，这个额外乘的x再经过后面，x^8到x^19, x^19到x^38 和 x^38到x^77 三步计算中进行了两次平方，所以这个额外乘的x在中占有((x^2)^2)^2 = x^8

 

最初的 x 在之后被平方了 6 次，因此在 x^77中占有x^64。

我们将这也额外乘的x在x^77所占的部分相乘。x * x^4 * x^8 * x^64 = x^77.

它们都是 2 的幂次，这是因为每个额外乘的 x 在之后都会被平方若干次。而这些指数 1，4，8 和 64，恰好就对应了 77的二进制表示 1001101中的每个 1！

1             0         0        1       1       0        1
x^64    x^32    x^16    x^8    x^4    x^2    x^1

那么我们怎么获取n对应二进制的1位数？

其实我们不必

代码实现

def myPow(x, n):
    def quickMul(x, n):
        to_square = x
        ans = 1
        while n > 0:
            if n % 2 == 1:
                ans *= to_square
            to_square *= to_square
            n //= 2
        return ans

    return quickMul(x, n) if n >= 0 else 1 / quickMul(x, -n)

✏代码注释 

def myPow(x, n):
    def quickMul(x, n):
        to_square = x
        
        # x所占的初始值为 x
        ans = 1
        while n > 0:
            if n % 2 == 1:  # 判断最低位是否为1
                ans *= to_square
            # 因为下面我们不断舍弃最低为，则下一个最地位对应上一个to_square的平方
            # 所以我们将to_square不断地平方
            to_square *= to_square
            
            # 使用整除舍弃 n 二进制表示的最低位，这样我们每次只要判断最低位即可
            n //= 2
        return ans

    return quickMul(x, n) if n >= 0 else 1 / quickMul(x, -n)

时间复杂度：O(log n)，即为对 n 进行二进制拆分的时间复杂度。

空间复杂度：O(1)。

今天就到这，明天见。

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