AtCoder Regular Contest 118 解题报告

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ARC118A - Tax Included Price

打表可做。

ARC118B - Village of M People

Description

给定 $K$，$N$ 和 $M$ 以及 $K$ 个 $A_i$，构造 $B_i$，使得 $\sum B_i=M$ 且
$$\underset{i}{\max }\left|\frac{B_i}{M}-\frac{A_i}{N}\right|$$
最小。

Solution

“最大的最小”，二分答案即可。

要让 ${\max }_i\left|\frac{B_i}{M}-\frac{A_i}{N}\right|$ 最小，即为让 ${\max }_i|B_{i}N-A_{i}M|$ 最小，设为 $x$ 即可。

然后我们可以得到 $\forall i,\lceil \frac{M{A}_i-x}{N}\rceil \le B_i\le \lfloor \frac{M{A}_i+x}{N}\rfloor$。这样子 $B_i$ 的上界和下界就出来了，设为 $L_i$ 和 $R_i$。

然后，如果 $\sum L_i\le M\le \sum R_i$，则答案一定是可以被构造出来的。这样子我们就可以完成对于一个 $x$ 的 check。

如何构造这个答案呢？把所有的 $B_i$ 设为 $L_i$，然后依次上调来补齐余量 $M-\sum L_i$。

这题就做完了。

#include 
#include 
#include 
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define DEC(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)
#define int long long

const int maxn = 1e5 + 5;

int read()
{
    int s = 0, x = 0;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c))
        x |= (c == '-'), c = getchar();
    while (isdigit(c))
        s = s * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x ? -s : s;
}

int k, a[maxn], n, m;
int L[maxn], R[maxn], suml, sumr;

inline int max(int a, int b) {return a > b ? a : b;}
inline int min(int a, int b) {return a < b ? a : b;}

bool check(int x)
{
    memset(L, 0, sizeof L), memset(R, 0, sizeof R);
    suml = sumr = 0;
    FOR(i, 1, k)
    {
        L[i] = max(0, (m * a[i] - x + n - 1) / n);
        R[i] = (m * a[i] + x) / n;
        suml += L[i], sumr += R[i];
    }
    return suml <= m && m <= sumr;
}

signed main()
{
    k = read(), n = read(), m = read();
    FOR(i, 1, k) a[i] = read();
    int l = 0, r = n * m, x;
    while (l <= r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid)) x = mid, r = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    }
    check(x);
    int sumb = suml;
    FOR(i, 1, k)
    {
        int x = min(R[i] - L[i], m - sumb);
        sumb += x;
        printf("%d ", x + L[i]);
    }
    return 0;
}

ARC118C - Coprime Set

Description

给定 $N$（$3\le N\le 2500$），构造 $N$ 个正整数 $A_i$ 使得：

• $A_i$ 互不相同且 $A_i\in [1,10000]$
• $\forall i\ne j,\gcd (A_i,A_j)>1$
• ${\gcd }_i\{A_i\}=1$

Solution

这个题需要一个引理：对于一系列已经满足条件的 $A_i$，将任意 $A_i$ 的倍数加进去，新得到的集合也是满足条件的。

正确性比较显然，不证。所以从 $\{6,10,15\}$ 出发，就可以构造出所有的合法答案。

#include 

int vis[10005];

int main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i * 6 <= 10000; ++i) vis[i * 6] = 1;
    for (int i = 1; i * 10 <= 10000; ++i) vis[i * 10] = 1;
    for (int i = 1; i * 15 <= 10000; ++i) vis[i * 15] = 1;
    int cnt = 4;
    printf("%d %d %d\n", 6, 10, 15), vis[6] = vis[10] = vis[15] = 0;
    for (int i = 6; i <= 10000 && cnt <= n; ++i) if (vis[i]) printf("%d ", i), ++cnt;
    return 0;
}