解线性方程组python实现直接分解法（Doolittle，克劳特，追赶法）
1. Doolittle分解
Doolittle分解法是一种将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法。它是LU分解的一种特殊形式，常用于线性方程组的求解和矩阵求逆等计算中。
Doolittle分解的基本概念如下：
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LU分解：给定一个n×n的矩阵A，LU分解将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A = LU。
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下三角矩阵L：下三角矩阵L的对角线元素都为1，其余元素满足L的上三角部分全为0。L的非零元素表示A矩阵中每个位置元素的消去倍数。
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上三角矩阵U：上三角矩阵U的对角线元素和上三角部分非零，其余元素全为0。U的非零元素表示经过消元操作后得到的A矩阵的值。
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Doolittle分解：Doolittle分解是LU分解的一种形式，其中下三角矩阵L的对角线元素为1。通过Doolittle分解，可以将线性方程组的求解问题转化为先求解Ly = b，再求解Ux = y的过程。
Doolittle分解的优点是不需要进行行交换操作，因此在某些特殊的情况下更加高效。它常被用于求解线性方程组、计算矩阵的逆以及求解矩阵特征值等应用中。
请注意，Doolittle分解要求原始矩阵A的主子矩阵都非奇异，即存在唯一的分解。当遇到奇异矩阵或无法进行分解的情况时，需要使用其他方法进行处理。
"""
@Time ： 2023/10/19 0019 17:11
@Auth ： yeqc
Doolittle分解
"""
import numpy as np
def doolittle_decomposition(A):
n = len(A)
L = np.zeros((n, n))
U = np.zeros((n, n))
for i in range(n):
# 计算U的第一行
U[0][i] = A[0][i]
for i in range(n):
# 计算L的第一列
L[i][0] = A[i][0] / U[0][0]
for i in range(1, n):
for j in range(i, n):
sum1 = 0.0
for k in range(i):
sum1 += L[i][k] * U[k][j]
U[i][j] = A[i][j] - sum1
for j in range(i + 1, n):
sum2 = 0.0
for k in range(i):
sum2 += L[j][k] * U[k][i]
L[j][i] = (A[j][i] - sum2) / U[i][i]
return L, U
def solve_linear_equations(A, b):
L, U = doolittle_decomposition(A)
n = len(A)
y = np.zeros(n)
x = np.zeros(n)
# 解 Ly = b
for i in range(n):
sum1 = 0.0
for j in range(i):
sum1 += L[i][j] * y[j]
y[i] = b[i] - sum1
# 解 Ux = y
for i in range(n-1, -1, -1):
sum2 = 0.0
for j in range(i+1, n):
sum2 += U[i][j] * x[j]
x[i] = (y[i] - sum2) / U[i][i]
return x
# 示例
A = np.array([[9, -1, -1], [-1, 8, 0], [-1, 0, 9]])
b = np.array([7, 7, 8])
x = solve_linear_equations(A, b)
print("解：", x)
2. 克劳特分解
克劳特分解法（Crout's method）是一种将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法。它与Doolittle分解类似，但在求解过程中有一些区别。
克劳特分解的基本概念如下：
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LU分解：给定一个n×n的矩阵A，LU分解将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A = LU。
-
下三角矩阵L：下三角矩阵L的对角线元素都为1，其余元素满足L的上三角部分全为0。L的非零元素表示A矩阵中每个位置元素的消去倍数。
-
上三角矩阵U：上三角矩阵U的对角线元素和上三角部分非零，其余元素全为0。U的非零元素表示经过消元操作后得到的A矩阵的值。
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克劳特分解：克劳特分解是LU分解的一种形式，其中上三角矩阵U的对角线元素为1。通过克劳特分解，可以将线性方程组的求解问题转化为先求解Ly = b，再求解Ux = y的过程。
克劳特分解与Doolittle分解的区别在于它将单位矩阵的元素放在上三角矩阵U的对角线上，而不是下三角矩阵L。这个特点使得在进行分解时，不需要对U的对角线元素进行除法运算，从而简化了计算过程。
克劳特分解常用于求解线性方程组、计算矩阵的逆以及求解矩阵特征值等应用中。需要注意的是，克劳特分解要求原始矩阵A的主子矩阵都非奇异，即存在唯一的分解。当遇到奇异矩阵或无法进行分解的情况时，需要使用其他方法进行处理。
"""
@Time ： 2023/10/19 0019 17:11
@Auth ： yeqc
克劳特分解
"""
import numpy as np
def crout_decomposition(A):
n = len(A)
L = np.zeros((n, n))
U = np.zeros((n, n))
for i in range(n):
# 计算U的第一行
U[0][i] = A[0][i]
for i in range(n):
# 计算L的第一列（除了对角线元素为1）
L[i][0] = A[i][0] / U[0][0]
for i in range(1, n):
for j in range(i, n):
sum1 = 0.0
for k in range(i):
sum1 += L[j][k] * U[k][i]
U[j][i] = A[j][i] - sum1
for j in range(i, n):
sum2 = 0.0
for k in range(i):
sum2 += L[i][k] * U[k][j]
L[i][j] = (A[i][j] - sum2) / U[i][i]
return L, U
def solve_linear_equations(A, b):
L, U = crout_decomposition(A)
n = len(A)
y = np.zeros(n)
x = np.zeros(n)
# 解 Ly = b
for i in range(n):
sum1 = 0.0
for j in range(i):
sum1 += L[i][j] * y[j]
y[i] = b[i] - sum1 / L[i][i]
# 解 Ux = y
for i in range(n - 1, -1, -1):
sum2 = 0.0
for j in range(i + 1, n):
sum2 += U[i][j] * x[j]
x[i] = (y[i] - sum2) / U[i][i]
return x
# 示例
A = np.array([[9, -1, -1], [-1, 8, 0], [-1, 0, 9]])
b = np.array([7, 7, 8])
x = solve_linear_equations(A, b)
print("解：", x)
3. 三对角阵的追赶法
三对角矩阵是指只有主对角线及其两侧的一条对角线上有非零元素，其余位置都是0的方阵。
三对角矩阵在数值计算中非常重要，因为许多微分方程离散化后可以转化为三对角矩阵的求解问题。使用标准的高斯消元法解三对角矩阵是比较困难的，因此需要一种特殊的算法来高效地求解。
追赶法（也称为Thomas算法）是一种用于解三对角线性方程组的直接求解方法。它的主要思想是通过高斯消元的思想将系数矩阵化为上三角矩阵，再利用回代的方法求解方程组。由于三对角矩阵具有特殊的结构，追赶法只需要进行简单的数学运算即可高效地求解线性方程组，时间复杂度为O(n)。
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@Time ： 2023/10/19 0019 17:11
@Auth ： yeqc
追赶法
"""
import numpy as np
def solve_tridiagonal_system(a, b, c, d):
n = len(d)
x = np.zeros(n)
# 将系数矩阵化为上三角矩阵
for i in range(1, n):
m = a[i] / b[i - 1]
b[i] -= m * c[i - 1]
d[i] -= m * d[i - 1]
# 回代求解
x[n - 1] = d[n - 1] / b[n - 1]
for i in range(n - 2, -1, -1):
x[i] = (d[i] - c[i] * x[i + 1]) / b[i]
return x
# 示例使用
a = np.array([0, 2, 2]) # 下对角线元素
b = np.array([4, 4, 4]) # 主对角线元素
c = np.array([2, 2, 0]) # 上对角线元素
d = np.array([6, 12, 10]) # 右侧常数向量
x = solve_tridiagonal_system(a, b, c, d)
print("解为:", x)