回溯算法之n皇后问题

今天在看深度优先算法的时候，联想到DFS本质不就是一个递归回溯算法问题，只不过它是应用在图论上的。OK，写下这篇博文也是为了回顾一下回溯算法设计吧。

学习回溯算法问题，最为经典的问题我想应该就是八皇后问题了。

一、适用范围

　　回溯算法应用的范围当然是很多了，那么归纳一下：如果一个问题中，没有很好的数学模型来解决，或者有数学模型解决，但是很难实现，那么我们就可以使用回溯算法来求解。

二、定义

回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。

用回溯算法解决问题的一般步骤：
1 针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。
2 确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。
3 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
问题的解空间通常是在搜索问题解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。

 

例题：八皇后问题

在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图所示：

显然，每一行可以而且必须放一个皇后，所以n皇后问题的解可以用一个n元向量X=（x1,x2,.....xn）表示，其中，1≤ i≤ n且1≤ xi≤ n，即第n个皇后放在第i行第xi列上。

由于两个皇后不能放在同一列上，所以，解向量X必须满足的约束条件为:xi≠ xj;

若两个皇后的摆放位置分别是（i,xi）和（j,xj），在棋盘上斜率为-1的斜线上,满足条件i-j=xi-xj;在棋盘上斜率为1的斜线上，满足条件i+j=xi+xj;

综合两种情况，由于两个皇后不能位于同一斜线上，所以，解向量X必须满足的约束条件为:
|i-xi|≠ |j-xj|

 

 1 #include <cmath>

 2 #include <cstdlib>

 3 #include <iostream>

 4 using namespace std;

 5 const int MAXSIZE=100;

 6 

 7 int Pos_Queen[MAXSIZE];//Pos_Queen[k]代表的含义是第k行的皇后应放在第Pos_Queen[k]列处

 8 int count=0;//全局变量，用来记录所有可能性数量

 9 bool Is_Safe(int k)//考察皇后k放置在Pos_Queen[k]列是否安全

10 {

11     for(int i=1; i<k; i++)

12         if( Pos_Queen[k] == Pos_Queen[i] || abs(k-i) == abs(Pos_Queen[k]-Pos_Queen[i]) )

13             return false;

14     return true;

15 }

16 

17 //打印皇后摆放情况

18 void Print_Queen( int queenList[], int n )

19 {

20     cout<<"Case "<<(++count)<<":"<<endl;

21     cout<<"  ";

22     for( int i=1; i<=n; i++ )

23     {

24         cout<<i<<" ";

25     }

26     cout<<endl;

27     for( int i=1; i<=n; i++ )

28     {

29         cout<<i<<" ";

30         for( int j=1; j<queenList[i]; j++ )

31         {

32             cout<<"* ";

33         }

34         cout<<"Q ";

35         for( int j=1; j<( n - queenList[i]+1 ); j++ )

36         {

37             cout<<"* ";

38         }

39         cout<<endl;

40     }

41     cout<<endl;

42 }

43 

44 void queue(int n)

45 {

46     int i,k;

47     for(i=1; i<=n; i++)

48         Pos_Queen[i]=0;

49     k=1;

50     while( k>=1 )

51     {

52         Pos_Queen[k] = Pos_Queen[k]+1;   //在下一列放置第k个皇后

53         while( Pos_Queen[k] <= n && !Is_Safe(k) )

54             Pos_Queen[k] = Pos_Queen[k]+1;//搜索下一列

55         if( Pos_Queen[k] <= n && k == n )//得到一个输出

56         {

57             count++;

58             //Print_Queen(Pos_Queen,n);

59             //return;//若return则只求出其中一种解，若不return则可以继续回溯，求出全部的可能的解

60         }

61         else if( Pos_Queen[k] <= n && k < n )

62             k = k+1;//放置下一个皇后

63         else

64         {

65             Pos_Queen[k]=0;//重置Pos_Queen[k],回溯

66             k = k-1;

67         }

68     }

69 }

70 

71 int main()

72 {

73     int n;

74     cout<<"输入皇后个数n:";

75     cin>>n;

76     queue(n);

77     cout<<n<<"皇后问题共有"<<count<<"种放法"<<endl;

78     return 0;

79 }

 

 

学习心得：

1.在编写递归枚举程序之前，需要深入分析问题，对模型精雕细琢。一般还应对解答树的结点数有一个粗略的估计，作为评价模型的重要依据。

2.如果在回溯法中试用了辅助的全局变量，则一定要及时把它们恢复原状。例如，若函数有多个出口，则需要在每个出口处恢复被修改的值。

3.从解答树的角度讲，回溯法正是按照深度优先的顺序在遍历解答树。