对多旅行商问题：应用、方法和分类进行了全面的综述

摘要：

多旅行商问题( MTSP )是最有趣的组合优化问题之一,因为它被广泛应用于机器人、交通、网络等实际应用中。尽管这一优化问题的重要性不言而喻,但目前还没有专门考察近期MTSP贡献的调查。本文旨在通过对现有MTSP研究的全面回顾,填补这一空白。在本次调查中,我们重点关注MTSP近期对经典车辆/机器人和无人机的贡献。重点介绍了求解MTSP的方法及其应用领域。我们对MTSP变体进行了分析,提出了一个分类学和近期研究的分类。

1、介绍和动机

多旅行推销员问题（MTSP）是众所周知的旅行推销员问题的推广，即多个推销员只访问一次给定数量的城市，并以最小的旅行成本返回到初始位置。MTSP与其他优化问题高度相关，如车辆路径问题[1]和任务分配问题[2]。事实上，mtsp是对VRP的简易版本，既没有考虑车辆容量也没有考虑客户需求。MTSP在任务分配问题上也有一些共同特点，但MTSP不允许多次访问和分团访问。因此，可以使用MTSP的解决方案来解决VRP或任务分配优化问题。

MTSP是最重要的优化问题之一，它适用于现实生活中的所有场景。根据应用要求，MTSP中的销售人员可以用地面车辆来表示，如机器人，或者用无人驾驶飞行器（UAVs）等飞行器，也称为无人机。而销售人员要访问的城市可以有不同的表现形式，如运输和送货服务中的客户、无线传感器网络数据收集的传感器节点、军事应用中的目标、紧急任务中的受害者和灾害管理应用中的关键地点。

考虑到这种优化问题的重要性，我们在本调查中专门回顾、分析和讨论最近对MTSP的贡献，同时强调应用领域和方法，解决经典车辆（即地面机器人、车辆、卡车）和飞行车辆（即无人机和无人机）的问题。

在经典车辆的背景下，文献中提出了几项关于车辆路线问题[3-6]和旅行推销员问题[7,8]的调查，以了解这些优化问题的不同形式以及解决这些问题的方法。仅举几个例子，作者在[7]中介绍了一项关于机器人系统路由问题的调查。本文讨论了一些基于TSP和VRP的路由解决方案及其扩展，以满足机器人系统的约束。这些解决方案包括Dubins TSP（DTSP），这是TSP的推广，其中路径由Dubins曲线组成；TSP with Neighborhoods（TSPN），其中一个社区与每个城市相关联，销售人员需要访问任何社区；多重旅行商问题（MTSP），最后是广义非对称TSP（GATSP）。

[8]中的研究介绍了多目标旅行推销员问题（MOTSP）的进化算法的比较分析。作者只关注了五种进化算法，即NSGA-II、NSGA-III、SPEA-2、MOEA/D和VEGA，以确定最适合MOTSP问题的算法。

尽管有几项研究引用了MTSP，但它只在某些章节中提到，而不是上述任何调查的主题。事实上，Bektas[9]提出的关于MTSP的唯一调查可以追溯到2006年，该调查审查了MTSP及其应用，强调了一些公式，并描述了一些精确和启发式的解决方案。

因此，缺乏专门针对MTSP的分析研究。为了填补这一空白，本调查致力于审查最近的贡献，这些贡献集中在MTSP及其变体或使用MTSP来解决现实问题上。

在飞行器的背景下，[10]中的研究提出了一项关注无人机优化问题的调查，并为无人机提出了TSP和VRP的不同变体。[11]中介绍了另一项有趣的研究，其中作者回顾了无人机轨迹优化和无人机路由的贡献。他们还提供了无人机路由和轨迹优化问题（UAVRTOP）的正式定义，该问题考虑了无人机的运动学和动力学约束。Bothsurvey[10，11]提出了路由问题及其变体、使用的方法和应用等方面的最新研究的分类法。因此，读者可以大致了解无人机现有的各种路线问题和目标优化。

读者也可以参考调查报告[12]，它可以提供一个快速进入民用无人机运行规划主题的起点。在这项调查中，作者总结了与无人机运行规划有关的重要无人机特征，描述了无人机运行的规划问题，以及无人机组合和其他车辆运行的规划问题。他们最终确定了一些新的无人机优化问题，并讨论了众所周知的优化问题（如TSP）的模型扩展。然而，所有这些调查[1012]都只限于无人机的背景。

在我们的论文中，我们提出了一个不同的调查，它是对MTSP的补充，也是对上述调查的补充。

更确切地说，我们的调查提出了以下贡献：

•介绍MTSP最重要的实际应用。

•分析MTSP现有的各种变体及其正式说明。

•全面回顾了最近对地面和飞行飞行器的贡献，同时强调了应用领域，并提出了解决每个贡献的MTSP的方法。

•MTSP的分类法和最新贡献分类，有助于读者进行研究，并为未来的研究方向提供指导。

本文献综述的其余部分组织如下。首先，我们在第2节中提到了MTSP的不同现实应用。这促使读者对优化问题进行审查，因为我们表明它被用来模拟几个现实生活中的应用。然后，我们在第3节中概述了MTSP，分析了现有的主要MTSP变体，并对它们进行了正式的描述。之后，第4节专门回顾了第4.1节中提出的解决地面车辆和机器人的现有方案，以及第4.2节中对飞行器的解决方案。在第5节中，我们提出了对所审查的MTSP研究的分类、分类和分析。然后，在第6节中，我们讨论了这些回顾的贡献并给出了一些未来的方向。最后，我们在第7节中总结了本调查。图1介绍了本论文的结构图。

2.MTSP的应用领域

多年来，无人驾驶的移动机器人、车辆和无人机一直被认为是一种新兴技术，它使许多复杂的飞行变得安全和容易。为了实现它们的任务，重要的是为每辆车确定一条路径，该路径在考虑一些约束的同时优化给定的目标。MTSP已在不同的实际应用中采用，以获得优化的多条车辆路线。mtsp的主要应用如图2所示，如下所示：

运输和交付。

例如货物配送或包裹递送，或者公共汽车运输。车辆负责将货物、包裹或人员从指定地点运送到另一地点。在这种应用中，应考虑车辆容量和时间限制。此外，卡车车队可以有效运输贵重货物，而无人机可以在很短的时间内运送小包裹[13-17]。随着无人机技术的出现，一种新的运输服务被提出，即无人机与卡车协同工作，将包裹递送给客户，以显著缩短递送时间。

WSN数据收集和网络连接。

在无线传感器网络中，可以部署额外的传感器节点来转发所收集的数据，直到数据到达汇点。然而，可以使用多个移动机器人作为移动接收器，从而帮助收集传感器节点提供的数据。这种数据收集策略可以最大限度地减少位于固定汇点附近的传感器节点的能量消耗，从而延长网络寿命[18-22]。作者在[22]中针对传感器节点的数据收集和能量充电的联合问题提出了一个多目标优化模型。所提出的多目标模型试图优化移动机器人的总能量效率，并减少传感器节点数据传输的平均延迟。在延迟容忍网络中，移动机器人可以通过从源节点获取数据，然后将其传递到目的节点来重新建立网络连接。在这样的应用中，可以使用一组无人机来代替地面机器人。其想法是，这些无人驾驶飞行器飞越断开连接的地面节点，负责收集数据，并充当中继[18，23，24]。应考虑对存储容量和数据延迟的限制。

搜救。

当人类生命处于危险之中时，优化搜救行动中的每一秒至关重要[25，26]。在这样的应用中，确定要访问的位置，然后优化要遵循的路线。随着无人机技术的出现，无人机在搜救行动中变得非常实用和有用[26]。

精准农业。

移动机器人广泛应用于精准农业，例如确保作物监测或灌溉管理。农民需要为每个机器人提供一条优化的路径，以降低成本并提高产量。地面车辆和无人机对农民都有很大帮助[27-29]。作者在[29]中提出了一种基于云的架构，该架构由WSN、移动机器人和云系统组成，用于监测温室区域。作者首先生成了移动机器人要访问的候选区域监测点。然后，他们生成移动机器人到达这些点的移动路径。为了计算机器人的最优路径，使用了TSP和MTSP问题。

灾害管理。

在森林火灾、地震或工业事故后，移动机器人可以帮助救援队执行任务[30，31]。例如，无人机的路线应在关键地点进行优化[32]，例如在消防行动期间。作者在[30]中提出了一种基于云的灾难管理系统。该系统由部署在将被监测的感兴趣区域的WSN组成，在发生灾难时，传感器节点将向位于云侧的中心站报告该信息。优化的救援计划被建模为MTSP，然后使用层次分析过程MTSP（AHP-MTSP）（the Analytical Hierarchy Process MTSP (AHP-MTSP)）方法生成。

监测和监督。

大面积区域可以由移动机器人代替传感器节点进行监测。无人机已被广泛应用于监控和监视应用中。在这种应用中使用的大多数飞行器都是小型无人机平台。然而，这些无人机的能量有限。在这种情况下，无人机巡视不得超过其最大能量，或者无人机可能在其监测任务期间进行一次或多次加油停留[33]。

多机器人任务分配和调度。

在机器人社区，一些工作已经将多机器人任务分配（MRTA）（the Multi-Robot Task Allocation）问题建模为MTSP。一般来说，MRTA包括为每个机器人分配一组任务，同时优化一些给定的指标[9，34-38]。

合作任务。

当一群车辆/机器人协同完成给定的任务时，例如军事应用中的目标攻击[32]。在合作任务中，车辆路线的计算应考虑其他车辆的路线以及防撞。必须优化这些运载工具的轨迹，以便每辆运载工具都能有效、安全、成功地执行任务。请注意，在协作任务中，不同的机器人可能会多次访问一个引用。上述一些应用可能需要协作机器人，如灾害管理[32]或使用卡车和无人机的包裹递送[13-15]。

3.MTSP的定义和变体

MTSP被广泛研究，最初的定义是，给定一组城市、一个停车场、m个推销员和一个成本函数（如时间或距离），MTSP旨在为m个推销员确定一组路线，使m条路线的总成本最小化，这样，每条路线都在停车场开始和结束，每个城市只由一个推销员访问一次。

MTSP已被应用于不同的应用领域，这产生了该优化问题的新变体。在本节中，我们分析了MTSP的不同变体，然后对主要变体进行了正式描述。

3.1变异分析

在本文中，我们扩展了[9]中提出的MTSP变体，并根据最近对MTSP的贡献对更多指标进行了分析。MTSP的新变体是考虑到销售人员、仓库、城市以及问题约束和目标的不同特征的结果。

销售人员特点：

•推销员的类型：根据应用，MTSP中的旅行推销员可以是推销员、车辆、机器人或无人机（UAV），也称为无人机。注：在下文中，我们对销售人员、车辆和机器人这三个术语的使用漠不关心。此外，无人机、无人机和飞行车辆这一术语的使用并不重要。

•销售人员的数量m严格大于1；否则，问题与TSP相同。m可以是固定的或者由MTSP确定。

•合作销售人员：几个销售人员可能会合作完成给定的任务。它们可以是相同的车辆类型，也可以组合在一起，例如用于卡车和无人机协同工作向客户递送包裹的递送应用。

仓库：

•单个仓库与多个仓库：在MTSP的标准版本中，只应考虑一个仓库，其位置是固定的。由于使用了几个推销员，多个仓库的存在可以优化旅游成本。在这种MTSP的变体中，销售人员可以从一个仓库开始旅行，并在完成任务时加入另一个仓库。

•固定仓库与移动仓库：一般来说，在MTSP中，仓库是固定的。然而，在一些应用中，仓库也可以是移动的。例如，移动仓库可以是无人机开始和结束其旅程的卡车。

•封闭路径与开放路径：在经典的MTSP中，销售人员的路径是封闭的，因为他们必须从同一个仓库位置开始和结束他们的旅程。然而，在某些应用程序中，销售人员不需要返回仓库，可以留在最后访问的城市。此外，如果考虑多个仓库，则销售人员可以加入任何可能与其初始仓库不同的现有仓库。

•加油点：当允许加油时，可以在仓库或一些额外的加油位置进行。

城市规格：

•标准MTSP：在标准MTSP中，所有销售人员共享相同的工作空间，即他们共享所有城市。

•有色MTSP：[39]引入的一种新变体，称为有色旅行推销员问题（CTSP），其中有两组城市。一组由所有销售人员共享，一组由特定销售人员访问的城市。

目标函数：

•单一目标与多目标：MTSP可用于优化单一目标或多个目标。此外，文献中提到的主要目标是：

-最大限度地减少所有旅行的（累计）距离或时间方面的总成本。

–最大限度地降低销售人员的旅行成本。

–最大限度地缩短任务时间。

–最大限度地减少能源消耗。

–最大限度地减少销售人员的数量。

–最大限度地减少额外成本，例如与加油站相关的成本。

值得注意的是，能源消耗和任务完成时间高度依赖于行驶的距离，因此，文献中考虑的主要目标是：行驶的总距离，机器人的最大行程，以及机器人行程长度之间的平衡。

问题限制：

•能量限制：销售人员在移动时消耗能量。卡车等车辆的能耗没有任何限制，而小型无人机等其他车辆的自主性有限。因此，如果车辆在执行任务期间无法进行加油，则计算的行程将受到该车辆有限航程的限制。

•容量限制：在执行任务期间，销售人员可能携带包裹或数据。与能量约束相同，车辆容量约束通常考虑无人机等小型车辆，这些车辆只能携带小包裹，并且可能具有有限的数据存储器存储。

•时间窗口限制：它对应于销售人员需要访问给定目标的时间间隔。在某些应用程序中，它可能对应于数据延迟，即销售人员必须从一个站点获取数据，携带数据，然后将数据交付到另一个站点。

3.2 变体的形式描述

如前所述，MTSP有几种变体。在本节中，我们将对主要内容进行正式描述。为此，我们考虑一组n个目标，即{T1，…，Tn}和一组m个机器人{R1，…，Rm}。机器人的任务是以最佳成本协同访问这些目标。

根据目标函数，MTSP一般有两个主要提法，它们是[31]：

1.MinSum MTSP：

在该 MTSP变体中，目标函数包括最小化所有机器人的旅行成本之和。从形式上讲，MinSum变量被建模为：

 2. MinMax MTSP

在这个变体中，目标函数在于最小化所有机器人的旅行中的最长旅行成本（例如距离或时间）。这一目标在以任务完成时间为重点的研究中得到了高度采纳。从形式上讲，这种变体被建模为：

当总行程距离或机器人的能量消耗应最小化时，最常使用MinSum，而当任务完成时间必须最小化时，最多使用MinMax。其他目标函数可以作为上述目标函数的线性组合导出[40]。

此外，无论机器人是从单个仓库开始还是最初位于不同的仓库，以及机器人是需要返回到其初始仓库（封闭路径变体）还是可以停在最后访问的目标（开放路径变体），机器人的旅行成本C（tour RI）公式都会发生变化。

更准确地说，设C（Ti，Tj）是从目标Ti行进到目标Tj的成本，并且C（Tour R i）是机器人R i的行进成本，每个变体中的机器人行进成本可以建模如下：

Single depot, closed path MTSP. 单一仓库，封闭路径MTSP：在这个变体中，所有机器人都从同一个仓库开始，一旦完成任务，它们就会返回。因此，机器人Ri从仓库D开始其巡视，然后按顺序访问r个指定目标的列表{T i 1，…，T i r}，并最终返回D。机器人Ri的巡视成本等于：

Single depot,open path MTSP :I单一仓库，开放路径MTSP：在这个变体中，机器人位于最后一个访问目标的顶部。机器人R i的游览成本等于：

 

Multiple depots, closed path MTSP :多个仓库，封闭路径mtsp：在这个变体中，m个机器人最初位于m个不同的仓库，称为{D1，…，Dm}。因此，机器人R i的游览成本等于：

 

Multiple depots, open path MTSP : 多个仓库，开放路径MTSP：在多个仓库MTSP的开放路径变体中，机器人不必返回其初始仓库，因此，机器人R i的旅行成本等于：

 

关于MTSP的正式描述和MTSP可能的表述的更多细节，我们请读者参阅[31]和[9]。在下文中，我们确定了两大类MTSP，即：（1）销售人员、车辆和机器人的MTSP和（2）无人机的MTSP。事实上，基于无人机的优化问题与传统的车辆和机器人具有不同的特征和约束。

---

开始没好好看

4 MTSP方法

顾名思义，MTSP最初是为了优化旅行推销员问题而设计的。然后，它被推广到地面车辆机器人的处理优化任务中。然而，最近十年，无人机、新飞车辆已经出现。首先使用的是无人机的危险军事任务的安全驾驶。随后，这些简单的车辆引起了人们对各种民用应用的极大兴趣，它们的使用也在继续增长。在文献中，最近的一些研究提出了不同的方法来解决MTSP。大多数为飞行器提出的方法都扩展了那些应用于地面车辆的方法，同时考虑了无人机的限制，如能源消耗或其有限的承载能力。

在本节中，我们建议研究和分析应用于分别解决地面车辆（包括销售人员和机器人）和飞行车辆的MTSP的不同方法，以帮助读者理解每种类型的车辆的问题，并指导他/她选择最合适的方法来解决他/她的优化问题。这些方法如图3所示。

 

 4.1 地面车辆和机器人的MTSP

本节专门回顾现有的专注于地面车辆、机器人或销售人员在一般情况下的MTSP的贡献。我们根据所使用的优化方法对这些解决方案进行了分类，如图3所示。它们如下

4.1.1 确定性方法

也被称为精确方法，能够达到给定优化问题的最优解。一般来说，由于计算的复杂性，这些方法非常耗时。因此，只有少数论文采用了精确的方法。作者在[41]中，将多仓库多旅行推销员问题（MDMTSP）转化为单仓库非对称TSP问题。在本文中，目标之间的旅行成本必须满足三角形不等式。为了将问题从一个多仓库转化为一个单一的仓库MTSP，增加了一组额外的节点，使每个新节点都被视为一个仓库。一旦转换完成，就应用标准的TSP精确方法来解决这个问题。

在[42]中也使用精确算法解决了带有异质车辆的MDMTSP。作者首先介绍了整数线性规划（ILP）的表述。那么，他们提出了一种定制的分支切割算法，该算法在100个目标和5辆车的300次实例中达到了最优解。

另一项研究[43]使用约束编程（CP）来制定和优化解决MTSP，通过应用全局约束、区间变量和域过滤算法。然而，由于解决51个城市和3个销售人员的实例的执行时间超过2小时，因此所提出的方法很耗时。

4.1.2 基于元启发式的方法

文献中最常用的元启发式算法；遗传算法（GA）、蚁群优化（ACO）、实用蜂群优化（PSO）和人工蜂群（ABC）技术。

基于GA的方法。

GA技术的原理是基于自然选择和遗传学来生成上一代的最佳解决方案。这个过程从一个初始随机解（代）开始。然后，计算一个健身函数来评估每个迭代中的解决方案的性能。之后，该过程选择两个父代解决方案，并计算交叉/变异操作，以产生两个新的解决方案，这些解决方案将在下一代中插入。如果计算出的子代解决方案有更好的适配值，它们将取代父代解决方案。这个选择、交叉和变异的过程不断重复，直到新一代达到种群规模。这就完成了一次迭代（生成）。该算法一直持续到达到一定的代数（由用户决定）或解决方案的质量不再提高为止 

在GA方法中，解决方案被表示为染色体。有不同的染色体表示技术。文献中使用的主要方法如图4所示。

作者在[45]中提出了一个两部分的染色体编码（图4d），并开发了一种新的交叉方法。提出的交叉方法与现有的交叉方法进行了比较，如有序交叉算子（ORX）、循环交叉算子（CX）和部分匹配交叉算子（PMX）。考虑到目标被优化，包括总行程和最大行程长度。性能评估证明了所提出的交叉方法在产生更好的解决方案质量方面的效率。

 [46]中的作者旨在建立一个遗传算法解决方案来解决MTSP。他们首先比较了六种不同的交叉运算符，即循环交叉（CX）、部分匹配交叉、顺序交叉（OX）、边缘重组交叉（ERX）、交替位置交叉（AEX）、顺序结构交叉（SCX）。不同规模的实验分析TSPLIBbenchmarkinstances[47]显示了交叉方法的性能。此外，实验研究表明，顺序构造交叉法的性能优于其他交叉法。

最近，一些研究集中在Partheno遗传算法（PGA）上[44,48]。[48]中的研究介绍了两种partheno遗传算法。第一个是带有轮盘赌和精英选择的PGA，并提出了四种新的变异操作类型。第二种被称为IPGA，它建议将选择和突变结合起来，使用更广泛的突变算子。作者使用了一种序列编码方法来描述该种群，该方法考虑了机器人在染色体中的路由和断点（图4c）。这个染色体被分割开来：第一部分代表机器人的路径，第二部分对应于断点部分。仿真结果显示，IPGA的性能最好。

作者在[44]中研究了PGA在解决MDMTSP方面的优点和缺点，并报告了由于缺乏群体中个体的局部信息而导致的缺陷。为了解决这个缺陷，作者提议将繁殖机制整合到入侵性杂草算法（IWO）中。由此产生的算法，称为RIPGA，用于改进的具有复制机制的Partheno-Genetic算法，与GA解决方案进行了比较，以证明其在避免局部融合方面的效率。

一些实际应用需要对更多的标准进行优化，如最小化机器人的能源消耗、任务完成时间等。因此，方法解决MTSP可能需要同时优化几个目标。这种问题被称为 "多目标MTSP（MOMTSP）。事实上，作者在[49]中使用了非支配排序遗传算法（NSGA-II）来提供多目标MTSP的解决方案。该方案旨在优化两个目标，即：最小化总行程和平衡销售人员之间的旅行时间。该解决方案计算出一组非主导的解决方案。然而，作者并没有解释如何计算旅行时间。

[50]中的另一项研究提出了一个多目标优化问题，称为多机器人部署无线传感器节点问题（MRDS），其中多个机器人必须在给定的位置部署传感器节点。在MRDS中考虑了三个目标；最小化任务时间（即传感器部署时间），最小化使用的机器人数量，以及平衡机器人的行程时间。作者解决了基于NSGA-II算法的MRDS问题。

基于PSO的方法。

粒子群优化方法是最著名的元启发式方法之一，与遗传算法有许多相似之处。PSO首先启动一个随机解决方案的群体，然后更新生成，直到达到一个最佳状态。然而，与遗传算法不同，PSO不使用交叉或变异操作来进化群体。在PSO中，可能的解决方案，被称为粒子，以其速度为特征，按照当前的最佳粒子在问题空间中移动。

粒子群优化方法被应用于[51]中提出的研究中。在这项研究中，作者解决了多机器人合作任务分配的问题，并将其表述为MTSP。该解决方案的目的是使机器人的总行驶距离和最大旅游成本最小。作者扩展了标准的PSO来处理几个目标。为此，作者提出了两种策略，即删除劣质解决方案的帕累托前沿细化策略，以及基于概率的领导者选择策略。作者将所提出的方法与众所周知的多目标方法进行了比较，如OMOPSO[52]、SPEA2[53]、NSGA-II[54]和SMPSO[55]，并证明了其优越性。

在同样的背景下，作者在[56]中也讨论了MRTA问题，并提出了动态和分布式PSO的DDPSO。解决方案由两个阶段组成。在第一个例子中，它将任务分组到集群中。然后，在第二阶段，它将集群分配给机器人。将所提出的解决方案与分布式粒子群算法和遗传算法进行了比较。

基于ACO的方法。

蚁群优化方法是一种基于种群的元启发式方法，用于解决组合优化问题。ACO的灵感来自于真实蚁群的能力，即通过使用化学信息素轨迹在蚁群之间进行交流来有效地组织蚁群的食物寻找行为。在群体中，每个个体都是一个人工代理，它逐步和随机地构建一个给定优化问题的解决方案。在下文中，我们回顾了基于ACO方法解决MTSP的贡献。

作者在[57]中对任务分配问题进行了建模，该问题是在水下车辆安全约束的MTSP下进行的。该解决方案旨在最小化总行驶距离和总转弯角度，从而使车辆能耗最小化。此外，解决方案迫使每辆车的目标数不能超过1。建议的解决方案包括两个步骤。首先，该解决方案决定了分配给每辆车的目标数量。然后，使用所提出的多蚁群系统（MACS）方法来解决多目标MTSP。实验结果证明，所提出的多ACS优于经典的ACS。

在[58]中，作者们解决了ACO解决多目标单仓库MTSP的问题。

在[59]中，作者提出了面向任务的蚁队ACO（MOAT-ACO）算法。MOATACO算法的目的是最小化总距离并实现负载平衡。在这个解决方案中，作者赋予蚁群以方向性意识和忠诚度特征，并提出了一个任务信息素来模仿生物本能。因此，这缓解了蚁群之间的纠缠，从而使其中一个目标最小化，即总距离。为了达到第二个目标，即负载平衡（旅游之间的负载平衡），引入了一个蚁群发射规则，允许最慢的蚁群加入更难工作的蚁群。

作者在[60]中解决了MRTA问题，并提出了一种基于ACO的多目标MTSP算法。ACO方法与序列变量邻域下降相结合，以进一步改进局部Pareto集解。该解决方案旨在同时最小化总行程和最大行程，并与NSGA-II、MOEA/D-ACO[61]和FL-MTSP[62]进行了比较。尽管该解决方案在解决方案质量方面优于这些方法，但它低于FL-MTSP。作者在[63]中讨论了具有时间窗口的mstp，并通过将ACO与最小生成1-树集成来提供最优解决方案，提出了一种混合解决方案。

基于ABC的方法。

与ACO方法一样，人工蜂群是一种专注于蜜蜂群智能食品搜索行为的优化方法。ABC也是一种基于种群的方法，其中食物源的位置（即种群）是优化问题的潜在解决方案，来自食物源的甘油数量代表相关解决方案的适用性。Venkatesh等人。[64]使用ABC算法解决单一仓库的MTSP，旨在最小化总行驶距离（MinSum）和最大行驶距离（MinMax）。作者还提出使用局部搜索来改善获得的结果。同一作者在[65]中讨论了彩色MTSP，还提出了一个基于ABC的解决方案。作者修改了ABC算法并引入了生成邻域解决方案（GNS）来解决MTSP。

混合方法

在文献中，一些研究提出了混合算法，结合不同的元启发法和技术来更有效地解决多旅行推销员问题。

例如，[61]中的研究提出了一种混合方法，将ACO算法与基于分解的多目标进化算法（MOEA/D）相结合，以解决多目标MTSP。该解决方案的想法是将多目标MTSP分为几个单目标子问题。然后，每个单目标子问题被分配给一只蚁。蚁群被组织成一组，每只都有几只相邻的蚁。每组都与一个信息素矩阵和每个启发式知识矩阵相关联。此外，每只蚁子都负责寻求其分配的子问题的最优解。出于这个原因，蚁群利用其启发式知识矩阵、其群体信息素矩阵和其当前的解决方案。围绕这种方法的关键问题是时间融合的模糊性和实施的难度。

[67]中提出了一种新的用于大规模MTSP的混合算法。所提出的解决方案，称为AC-PGA for Ant ColonyPGA，是通过整合PGA和ACO获得的。更确切地说，该算法首先利用PGA来确定销售员仓库的最佳值和每个销售员要访问的城市数量。然后，它利用ACO来计算每个销售员的最短路径。

进一步的研究[68]解决了家庭保健问题中护理人员的调度和路由问题，并将其表述为带有时间窗口的MTSP。他们提出了一种结合ACO和记忆算法的混合方法[69]。该解决方案的目的是最小化总的旅行时间，并平衡护理人员（销售人员）的工作时间。

4.1.3. 基于市场的方法

基于市场的方法，也被称为基于拍卖的方法，可以是集中式的中央拍卖者，接收出价并将城市分配给成本最低的销售人员，或者分布在不同的销售人员之间共享竞价过程。

作者在[70]中提出了一种基于市场的分布式动态MTSP算法，其中销售人员是机器人。因此，该问题被称为多个行走机器人问题（MTRP）。在这个解决方案中，每个机器人以渐进和分布式的方式选择自己的目标，如下所示。首先，每个机器人使用最短距离作为成本函数来选择合适的目标。然后，它宣布对其目标参观时间表进行单项拍卖。选择最佳的机器人觅食任务要归功于一种称为DNP（用于合同网协议）的基于构造的协议。Webots仿真结果表明，所提出的解决方案在可扩展性、总路径长度和通信开销方面都很有效。

在[71]中，多机器人任务分配问题（MRTA）被公式化为MSTP，并使用带有动作过程的K-均值聚类技术进行求解。该解决方案可以缩短总距离四个波长，并平衡机器人的长度。首先，使用K-means算法形成n组任务，其中n是机器人的数量。然后，每个机器人计算访问在前一步骤中形成的每个集群的成本。最后，在拍卖步骤中，机器人在集群上出价，每个集群以最低的成本分配给机器人。然而，该算法的复杂性相当高，因为它考虑了集群机器人分配的所有可能组合。因此，这种方法可能不适合解决大规模实例。

受基于共识的捆绑算法（CBBA）[72]和基于市场的前瞻代理方法（MALA）[73]的启发，[74]的作者为MTSP引入了一个基于市场的解决方案。解决方案是一个重复的市场程序，机器人执行以下步骤：市场拍卖、代理人之间的交易、代理人转换和代理人放弃步骤。每个机器人根据目标成本，在市场拍卖阶段选择最佳任务。机器人在代理与代理之间的交易步骤中任意检查其他机器人的任务，以验证它们是否能以较低的价格执行这些任务中的任何一个。在代理切换阶段，该算法试图探索不在最小位置的解决方案。该算法在anumberofiterations之后没有性能改进。

Cheikhrouhouetal.proposeda-based method，称为Move-and-Improve，见[75,76]。建议的解决方案涉及机器人在分配目标和逐步消除可能的重叠方面的合作。这个概念很简单：机器人在与邻居交流时，每一步都会移动并试图优化其解决方案。移动和改进方法包括四个主要阶段：（1）初始目标分配，（2）旅游建设，（3）冲突目标的谈判，（4）解决方案改进。使用MATLAB和Webots模拟器对移动和改进进行了模拟，并使用机器人操作系统（ROS）部署在真实的机器人上。

另一个基于聚类市场的算法（CM-MTSP）[77]被提出来用于多目标MTSP。解决方案包括三个步骤，即：聚类、拍卖和改进。在聚类步骤中，一个中央服务器使用k-means将目标分组为集群。然后，服务器逐一宣布已经形成的集群，机器人通过计算成本对每个集群进行投标，并将其发送给服务器。服务器最后将集群分配给成本最低的机器人。改进步骤的目的是优化另一个目标，即最大旅行和任务完成时间。这种改进是通过机器人之间的集群排列来实现的。在这个算法中，作者给每个机器人分配了一个集群。然而，改变聚类的数量可能会带来更好的结果。此外，作者以同时处理多目标问题的方式处理，不一定能得到最好的结果。

4.1.4. 其他方法

在下文中，我们将回顾一些MTSP的贡献，这些贡献采用了不同的技术，如概率论、游戏理论、模糊逻辑、分析层次过程等。

TosolvetheMDMTSP,作者在[78]中介绍了使用概率集合的Damethod，其中车辆被表示为自主代理，车辆作为一种策略进行路由

Khoufi等人。[79]提出了一个多目标优化问题，以确定负责从无线传感器节点收集数据的机器人之旅，并将这些数据传递给仓库。建议的优化问题应满足一些约束条件，如数据交付延迟、机器人能量和有限的机器人数量。这个优化问题是基于博论方法解决的。所提出的理论游戏是一个联盟形成游戏，它优化了最大旅行时间、机器人的数量，并平衡了机器人的旅行。

Todressthemulti-objectiveMTSP,afuzzylogic-basedsolution（FL-MTSP）是由Trigui等人提出的。[62]。该解决方案考虑了两个目标，MinSum和MinMax。FL-MTSP解决方案与基于GA的解决方案[34]进行了比较，以证明其效率。

最近，Cheikhrouhou等人[31,80]提出了AHP-MTSP，一种基于分析层次过程（AHP）的方法。AHP-MTSP首先为每个考虑的目标计算一个权重。这些权重是根据用户的偏好并使用AHP方法[81]计算的。然后，不同的目标被汇总成一个单一的函数，作为不同加权目标的总和。AHP-MTSP与包括FL-MTSP[62]和CM-MTSP[77]在内的几种方法的比较证明了其优越性。

受[45]工作的启发，[82]中的作者提出了一种ModifiedTwo-PartWolfPackSearch(MTWPS)方法，该方法由两部分染色体编码方法和转置和扩展操作来解决MTSP.该解决方案旨在最小化总行程和最大行程。

Venkatesh等人。[64]提出了一种基于入侵性杂草优化算法的元启发式方法。为了进一步改进解决方案，还使用了局部搜索方法。

表1总结了为地面车辆和机器人提出的不同讨论的MTSP解决方案。

4.2.无人机MTSP

在本节中，我们回顾了最近在无人机背景下使用MTSP的研究，并根据所采用的方法对这些MTSP解决方案进行了分类，同时强调了它们的应用领域。表2总结了为无人机提出的不同审查MTSP解决方案。

 4.2.1. 确定性的方法

在运输和配送应用中，[87]中的作者首次正式定义了将飞行器与卡车结合起来进行包裹配送的问题。然后，他们扩展了[13]中的研究，引入了多飞行伙伴旅行推销员问题（mFSTSP），即部署卡车和无人机车队向客户运送小包裹。这个问题被公式化为混合整数线性规划（MILP），并通过Gurobi解决小尺寸问题。

在这一背景下，[14]中的作者基于[87]中的研究，提出了无人机的多重旅行推销员问题（MTSPD），该问题基于无人机和卡车在最后一英里的交付。拟议模式是MTSP的一个变体。在这个优化问题中，多架无人机和多辆卡车一起执行交付。MTSPD的目标是在将所有包裹交付给客户后，将车辆、卡车和无人机在仓库的到达时间降至最低。为了求解MTSPD，作者提出了混合整数规划（MIP）公式，并使用IBM-CPLEX[88]获得了解决方案。

由于计算的复杂性，[13]和[14]中引入的优化问题只对小实例进行了优化解决。然而，这两项研究都应用启发式方法来解决他们在中型和大型实例中的问题。我们在下一节中回顾了这些启发式方法。

[15]中的另一项研究扩展了[87]中提出的多个四级alesman问题的问题。在该研究中，当一个客户和另一个客户将包裹送到另一个顾客那里以提取新包裹或直接返回到仓库以开始新的交付时，地址负责丢弃包裹。该问题被建模为一个不相关的并行机调度（PMS），并将多个仓库与多辆卡车和无人机进行了集成，受时间窗口、接送同步和多次访问的限制。为了解决这个问题，提出了一种新的约束规划方法，以最小化满足所有交付任务所需的最大时间。

在攻击多个目标的背景下，[32]研究了多个无人作战飞行器（UCAV）的合作轨迹规划综合目标分配问题。该问题被表述为动态约束、多仓库、多旅行问题与邻域（DC_MDMTSPN），它是MTSP的一个变种。所提出的问题考虑到了战场环境约束（如威胁规避）和UCAV动力学模型（如避免相互碰撞），并基于两阶段的方法进行解决。在第一阶段，作者构建了有向图，然后将原始问题转化为非对称TSP（ATSP）。在第二阶段，他们使用Lin− Kernighan启发式（LKH）搜索算法来解决ATSP。

[83]中的研究介绍了异构多无人机任务分配问题的问题表述为多个旅行推销员问题。作者提出了一种新的基于数字图的无死锁算法，以及一种修正的两部分Wolf Pack Search算法来有效解决确定性的离线问题。

4.2.2. 基于元启发式的方法

元启发式已经被应用于解决许多NP-hard优化问题。在这一节中，我们对基于MTSP的启发式算法如遗传算法和Tabu搜索的贡献进行了回顾。请注意，许多研究提出了组合启发式方法，其中问题的解决遵循几个阶段，并基于不同的技术（如聚类、元启发式）来降低问题的复杂性。

基于遗传算法的方法。

在最后一英里交付的背包和背包的背景下，作者在[14]中为小型实例优化求解了MTSPD，并提出了一种新的启发式算法，称为自适应插入算法（ADI）来求解大型实例。ADI的原理是首先构建一个初始解决方案，然后通过应用移除和插入运算符来构建MTSPD解决方案来改进它。为了执行ADI的第二阶段，作者基于遗传算法、组合K−means/Nearest Neighbor和随机聚类/Tour。仿真结果表明，在小规模实例中，求解器和遗传元启发式算法GA−ADI都达到了最优解。请注意，GA-ADI解决MTSPD问题的速度明显快于求解器IBM-CPLEX[88]。然而，在大型情况下，作者只使用了GA−ADI启发式算法，他们证明了使用多架无人机来缩短交付时间的效率。

作者在[23]中提出了一项将无人机作为DTN中继的研究，并引入了一个名为Deadline Triggered Pigeon with Traveling Salesman Problem with Deadline（DTP-TSP-D）的主动方案。在这个问题中，无人机可以与一个或一个集群的节点进行通信，从一个地面节点拾取数据，同时考虑它从一个地方向另一个地方传递信息的能力，然后悬停，直到被触发传递指向其他地面节点的信息。一个遗传算法被用来确定在交付时间方面优化的无人机之旅。

[24]中的一项类似研究提出，使用无人机作为消息渡轮节点，负责在DTN网络中断开连接的节点之间传输消息。作者介绍了一个多消息摆渡无人机优化问题，该问题是中期战略计划的一个变体，使得最优路径规划最小化了消息传递延迟。为了保持最优路径规划解，采用遗传算法在可行的时间内求解该问题。在遗传算法中，建立节点集群，每个集群将被分配给一个UAV，然后UAV访问集群中所有节点的路径是根据节点之间的流量和节点中的消息负载来确定的，以优化网络中的消息传递。在小型网络中，该遗传算法提供了与使用穷举搜索方法获得的算法一样好的解决方案，但运行时间更短。此外，所提出的优化问题在DTN中的消息传递延迟方面优于传统的MTSP解决方案。

[18]中的研究，解决了在大规模WSN中使用多个移动汇的数据收集问题，以节省整个网络的能量并提高数据包交付率。为了解决这个问题，作者提出了一个两阶段的启发式方法。在第一阶段，形成k个传感器节点集群，其中k是UAVsactingasmobilesinks的数量。在第二阶段，根据平滑路径构建（SPC）算法确定每个无人机的路径。在SPC中，遗传算法被用来确定每个无人机正好访问集群内每个传感器节点一次的行程。然后，根据无人机转弯约束计算出平滑的行程。

当合作的无人机在危险地区运行以执行多项任务时，优化部署的无人机数量以及每个无人机的轨迹，将有助于在最短的时间内完成任务。在这种情况下，[84]的研究提出了针对多任务、任务分配和路径规划问题的Multi−无人机，这是MTSP的一个变种，在给定的时间约束和任务集下优化无人机的数量。本文介绍了解决该问题的方法、协调优化算法、组合遗传算法和集群算法。作者首先提出了K-means聚类算法来建立多个任务的聚类，其中每个聚类将被分配给一个无人机。第二，相邻任务的sameclusterare分组，以减少无人机要访问的地点的数量。之后，一个基于遗传算法的TSP优化问题将被解决，同时考虑时间约束。协调优化算法和GA之间的比较表明，所提出的协调优化算法比GA更有效。

在无人机负责覆盖多个区域的监测应用方面，[85]的研究提出了覆盖路径规划的能量受限的多重旅行推销员问题（EMTSP-CPP）。为了解决这个问题，作者引入了遗传算法的修改版本，同时考虑了新的个体（染色体）代表，以及新版本的交叉和变异操作，最后是一个约束意识的功能函数。作者证明，与其他方法相比，修改后的遗传算法具有更好的性能。

在[26]中，提出了一个用于搜索和救援的多目标无人机路径规划。所提出的解决方案是基于遗传算法的，目的是使完成时间最小化。该解决方案将环境划分为若干单元，然后使用MTSP来保证每个单元正好被一个无人机搜索到。

在精准农业中，无人机可以被部署到用杀虫剂喷洒田地。在这种情况下，[86]的研究介绍了多四旋翼飞机的任务分配和路径规划问题，这是无人机的一种特殊类型。所提出的问题被表述为MTSP优化，目标是减少任务完成时间，同时考虑到对四旋翼飞机电池容量限制的约束。为了解决这个问题，作者提出了一种分层的方法，其中采用了内外循环结构。事实上，内循环是基于遗传算法的，而outerloopusesanonlinearproming方法是基于内循环获得的最佳结果。基于与传统方法的性能比较，说明了所提方法的效率。

基于TS的方法。

塔布搜索法是一种基于局部搜索方法的元启发式方法，用于数学优化。局部搜索方法往往会卡在次优解中。因此，Tabu搜索通过探索超越局部最优的解空间来提高这些方法的性能。

在监测和监视应用领域，[33]的研究提出了两阶段燃料约束的多重UAV路由问题（FCMURP）。在FCMURP中，考虑了multipledepots，它们也代表了加油点。然而，只有一个仓库，每个无人机之旅从那里开始和结束。两阶段的FCMURP工作原理如下。在第一阶段，采用MTSP为每个无人机建立一个旅游。然而，如果任何无人机没有足够的能量来完成其行程，它可以在任何仓库进行加油站。在第二阶段，额外的加油站被添加到第一阶段的旅游中，以确保实现能源消耗的可行性。在FCMURP的第一阶段，目标是最小化所有无人机的飞行距离之和，而第二阶段的目标是最小化额外加油站的预期飞行距离。为了解决FCMURP，作者提出了SampleAverageApproximation（SAA）方法。在小的实例中，SAA方法对两阶段模型的最优解也是趋同的，然而，在大中型实例中，SAA需要这么多时间来趋同。为了应对这个问题，作者提出基于Tabu搜索的启发式方法来解决FCMURP，他们表明这种启发式方法提供了高质量的解决方案。

4.2.3其他方式

在卡车和无人机送货应用中，作者在[13]中提出了三个阶段的启发式方法来解决多个反射侧边旅行推销员问题（mFSTSP），涉及100个客户和4个地区。在第一阶段，一些客户被选择由卡车服务，另一些客户将由无人机服务。然后，基于旅行推销员优化问题确定卡车之旅。在第二阶段，将每个客户分配给特定的无人机，并识别卡车之旅和无人机之旅。在第三阶段，作者求解MILP以确定卡车和无人机计划运行的确切时间。异构无人机的飞行续航能力被建模为电池大小、有效载荷、飞行距离和飞行阶段的函数。最后，执行局部搜索过程来提高求解质量。作者表明，对于实际大小的问题，三阶段启发式算法提供了具有合理执行时间的高质量解。

在任务分配和调度的背景下，作者在[83]中把多无人机任务分配问题表述为MTSP。所提出的问题考虑了各种情况，包括多个连续任务、异质无人机、时间敏感和不确定性。为了解决这个参数不确定的问题，引入了几种方法，如稳健优化方法、对偶性理论和一种新的组合算法，包括经典的内部点方法和改进的两部分狼群搜索算法。作者还提出了一种在线分层规划算法来解决具有时间敏感不确定性的在线问题。最后，他们进行了几次数值模拟和物理实验，以检查所提出的算法的效率。表2总结了现有的无人机MTSP的解决方案。

5.分类法、分类和分析

在这一节中，我们首先提供了一个MTSP的扩展分类法，它是基于MTSP的变体、应用的优化方法和提出解决方案的应用领域。之后，根据这个提议的分类法，对之前审查的解决方案进行了分类。这个分类法对现有的MTSP研究进行了概述，可以帮助读者为特定的应用选择合适的MTSP变体，以及用于解决问题的方法。最后，我们根据我们的分类中提供的指标，通过对所审查的论文进行分析研究来结束本节。

5.1.MTSP的扩展分类法

在下文中，我们提出并扩展了mtsp。首先，我们首先根据三个标准列举该分类法中考虑的属性，即：mtsp的变体、方法和应用领域。我们为前面第3节所述的mtsp划变体选择了最常见的属性。我们还选择了用于解决mtsp的不同方法（第4节中引用）。此外，上文第2节详细介绍了mtsp的不同应用领域。

MTSP变体

销售员：

∗ 1- 销售员

∗ 2- 机器人

∗ 3- 车辆

∗ 4- 无人机

目的地：

∗ 5- 单一

∗ 6- 多个

∗ 7- 加油点

城市：

∗ 8- 标准MTSP

∗ 9- 彩色TSP

 问题 约束条件：

∗ 10 能量

∗ 11-容量

∗ 12-时间窗口

问题 目标：

∗ 13-单目标优化问题

∗ 14-多目标优化问题

 方法 实现

15-精确算法

 16-遗传算法（GA）

17-粒子群优化（PSO）

 18-蚁群优化（ACO）

19-人工蜂群（ABC）  

20-Tabu搜索(TS)

21-聚类算法(如K−表示，最近的邻居)

22-基于市场的聚类 23-其他 ∗ a-模糊逻辑 ∗ b-游戏理论 ∗ c-ADI启发式 ∗ d-三阶段启发式 ∗ e-样本平均近似(SAA) ∗ f- Lin− Kernighan启发式(LKH) ∗ g-主动方案 ∗ h-Prob

应用 24-运输和运送 25-数据收集 26-搜索和救援 27-精准农业 28-灾害管理 29-监测和监视 30-多机器人任务分配和调度 31-合作任务管理 32-一般情况

5.2.审查的MTSP解决方案的分类

我们根据之前提出的分类法对调查中审查的现有研究进行分类，如表3所示。在下文中，我们将对这些分类的解决方案进行详细分析。

5.3.对审查的MTSP解决方案的分析

为了更好地理解和分析表3中提出的分类，我们在图中提出。5、我们调查中引用的论文在车辆类型、应用方法、应用领域和出版年份方面的统计研究。

我们可以看到，71%的专注于MTSP的研究是在地面车辆的背景下进行的，而飞行车辆的这一比例为29%，如图所示。第5a段。这可以通过以下事实来解释：地面车辆的MTSP研究自2007年以来一直在发表，然而，我们调查中引用的最古老的关于无人机的论文发表于2015年，如图所示。5b。地面飞行器和机器人的MTSP比无人机的MTSP研究得更多，因为这种飞行飞行器被认为是一种新兴技术，在民用领域的使用相对较新。

此外，如图所示。5c所示，GA方法是两类车辆中使用最多的方法（36%的论文使用了GA）。第二种最常用的方法是精确方法和ACO方法（被18%的论文使用）。然后，它是基于市场的方法（被11%的论文使用）。

此外，如表3所示，对于地面车辆，大多数论文考虑了多个仓库的变体，然而，对于无人机，大多数论文考虑了MTSP的单一仓库变体。事实上，使用的仓库数量取决于应用领域，也取决于车辆的类型。例如，与地面车辆相比，无人机的自主性有限，这些无人机一般部署在非延伸区域。这就证明了需要一个单一的仓库来给无人机充电和发射。此外，这个单一的pot可以是移动的，以优化预定的时间和无人机的能量，例如，通过使用卡车和无人机的最后一英里交付，如[13,14]中提出的。

此外，一些论文如[32,33]考虑了无人机路径上的加油点。

无人机解决方案的另一个特点是，它们考虑了更多的约束条件，如[13,33,85,86]中的能量约束和[15,23,83,84]中的时间窗口约束。这是因为无人机比地面车辆有更多的受限资源（即特别是在能源方面），这是有道理的。对于地面车辆，能量被认为是一个优化目标（即要最小化），而不是一个约束条件。此外，与地面车辆背景相反，MTSP的单一目标以及多目标变体被公平考虑，在无人机背景中，多目标变体很少被考虑（只有参考文献。[26]）。事实上，无人机解决方案中考虑最多的目标是最小化任务时间。

就所使用的方法而言，如图6所示，在所有类型的车辆中，最常用的是遗传算法方法。地面车辆第二常用的方法是ACO元启发式。然后是基于市场的方法。值得注意的是，在几篇论文中，GA方法与其他技术相结合，如[61，67]中的GA+ACO，或[68]中的GA+模因算法。此外，对于无人机环境，遗传算法方法被广泛用于聚类技术，如[14，18，23，24，84]。此外，我们从表3中注意到，为无人机背景提出的中期战略计划解决方案更为复杂，基于多种方法的整合。事实上，正如一些论文所建议的那样，无人机受到其能量和负载/承载能力的限制，可以与卡车协同运行。因此，优化问题变得复杂。为了在考虑无人机的约束和应用要求的同时优化预期时间，许多研究提出分几个步骤解决优化问题，以降低问题的复杂性。为了做到这一点，这些研究针对这些不同阶段应用或组合了几种方法。

在应用领域方面（图5d），大多数为地面车辆提出的论文考虑了一般情况，不限于特定的应用领域，除了一些论文，如[38,51,57,60,71]，这是为MRTA问题提出的。然而，无人机解决方案呈现出应用的多样性领域（表3）。

6.讨论和未来方向

前两节专门回顾了为MTSP提出的贡献。事实上，我们已经概述了文献中提出的解决MTSP的不同方法，同时强调了应用领域。

尽管MTSP与现实生活中的应用非常相关，但我们指出，一些研究已经解决了一般情况下的MTSP，而没有考虑具体的应用。然而，当研究在一个特定的背景下，如包裹运送、数据收集、监测和监视等，MTSP的新变体被提出。这些变体考虑了不同类型的车辆（如机器人、车辆、卡车和无人机），以及仓库和要访问的城市的新特征。

例如，无人机的特点是成本低、机动性强，可以很容易地被部署来执行搜救任务或监测特定区域。然而，在交通领域，地面车辆和卡车的使用是因为它们有很大的自主性和装载能力。应该注意的是，一些研究是基于异质车辆的，并提出了卡车和无人机一起用于完成特定任务的解决方案。

根据应用要求，在MTSP中还考虑了额外的约束条件，如车辆容量、能源消耗和时间窗口，这些都是常用的车辆路由问题。即使MTSP在考虑这些约束条件时变得与VRP相似，在我们的调查中，我们只审查了问题被表述为MTSP的论文。

在最近的研究中，已经提出了几种精确和启发式的方法，可以直接解决MTSP，也可以在转换为TSP后解决。

尽管精确的方法给出了最优解，但由于问题的NP-hardness，它们只对非常小的实例有用。元启发式方法，包括遗传算法（GA）、蚁群优化（ACO）、人工蜂群（ABC）和粒子群优化（PSO），已经被广泛探索，以有效解决MTSP。然而，当问题扩大时，执行时间非常长，使其不适合实时应用。我们指出，遗传算法是最广泛使用的元启发式算法，然而，近年来，有一种趋势是应用ACO算法。

此外，一些研究提出了基于混合算法的MTSP解决方案，该算法结合了元启发式的使用和例如局部搜索或聚类算法。然后在不同的阶段解决该问题，这样，计算复杂度就会降低，融合时间就会变得合理。

基于市场的方法也被用来解决MTSP，因为它可以有效地解决动态的系统变化，并且不需要事先了解所有的系统状态来提供一个解决方案。

车辆完成特定任务所遵循的路径必须满足两个重要条件。一方面，车辆轨迹必须是可行的，因此需要考虑到车辆的约束条件，如耐力、运动学（如速度和加速度）和系统动力学。另一方面，必须通过避免与障碍物的碰撞以及车辆之间的碰撞来确保车辆的安全。

为了简单起见，许多研究没有考虑这些车辆特征和建议的优化问题，以放松这些约束。只有少数关于无人机应用的贡献在问题模型中加入了车辆约束[11]或在解决方案中考虑了避免碰撞[32]。

未来对MTSP优化问题的研究需要更加关注车辆特性和约束条件，以便为现实生活中的应用提供有效的解决方案。

与车辆和卡车不同，地面机器人和无人机的能量可能有限。一些研究集中在无人机的续航能力上，然而，在未来的贡献中需要提出一个机器人和无人机的能耗模型。

至于经典的MTSP，关于无人机MTSP的研究可以为数据基准[89]提供解决方案，以便在为解决MTSP而提出的不同方法之间进行比较，并将研究工作推向这个方向。

7.结论

多重旅行推销员问题是最有趣的组合优化问题之一，因为它能够描述和制定现实生活中的应用。事实上，这项调查表明，MTSP在多个领域都使用了公式化的优化问题，包括运输和交付、数据收集、搜索和救援、多机器人任务分配和调度等。虽然MTSP很重要，但目前还缺乏描述现有解决方案的调查。本文旨在通过对MTSP的现有和最近的解决方案进行全面回顾来填补这一空白。我们将现有的解决方案分为两大类：（1）车辆和机器人的MTSP；（2）无人机或无人机的MTSP。此外，每个类别的解决方案都根据所使用的优化方法进行分类，如精确的、元启发式的、基于市场的等。本文还根据几个标准提出了所研究的解决方案的分类法，包括MTSP的变体、方法、应用等。最后，值得注意的是，MTSP仍然是一个有前途的研究领域，特别是对于基于无人机的应用，新的优化问题正在出现。