数据结构零基础C语言版 严蔚敏-时间复杂度、空间复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间（内存）资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。计算机发展早期，计算机存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎，但经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

一、 时间复杂度

1.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算法出了该算法的时间复杂度。

实例：（嵌套循环时间复杂度计算）

 实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。故上题Func1的时间复杂度为O(N^2)

1.2 大O的渐进表示法

大O符号：是用于描述函数渐近行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运算次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶。

实例1：（双重循环时间复杂度计算）

  时间复杂度为O(N)

实例2：

 时间复杂度为O(M+N)

如果题目有前提：

1）M远大于N -> O(M)

2）N远大于M -> O(N)

3）M和N差不多大 -> O(M) 或 O(N)均可

注：一般情况下时间复杂度计算时未知数都是用的N，但是也可以用M、K等等。

实例3：（常数循环时间复杂度计算）

  时间复杂度为O(1) （注：不是代表算法运行一次，而是常数次）

实例4：（strchar时间复杂度）

注：strchr() 用于查找字符串中的一个字符，并返回该字符在字符串中第一次出现的位置。

 

当一个算法随着输入不同，时间复杂度不同，时间复杂度做悲观预期，看最坏情况，即上题时间复杂度为O(N)。

实例5：（冒泡排序时间复杂度计算）

 精确：F(N)=[N*(N-1)]/2

时间复杂度为O(N^2)

实例6：（二分查找时间复杂度计算）

最坏情况：每次都到上一次的一半范围去查找，每找1次除以二

则 N/2/2/2....=1 （1代表最后缩小到只剩一个值时，要么是该值，要么找不到）

则 2^X=N (X是次数)

最终时间复杂度为O(log2N)

实例7：（阶乘时间复杂度计算）

 注：递归算法：递归次数*每次递归调用的次数

时间复杂度为O(N)

实例8：（斐波那契时间复杂度计算）

  

 ​​​​

 注：X即代表图上所圈出的那些缺失的递归调用

 时间复杂度为O(2^N)

1.3 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学函数表达式，是对一个算法在运行过程中临时额外占用存储空间大小的度量。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算得是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也用大O渐进表示法。

注：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

实例1：

 额外需要的只有一个end和一个i（循环结束i销毁，再次进入循环时再定义i，这个i和之前的i共用一块空间）可以理解成，在任何时间段或者时刻下，只存在一个i和一个end。

空间复杂度： O(1)

实例2：

空间复杂度： O(N)

时间复杂度： O(N)

实例3：

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。

空间复杂度： O(N)

实例4：

空间复杂度： O(N)

注：空间是可以重复利用不累计的，时间是一去不复返累计的。

一些算法常见的复杂度如下：

练习1：

 

 思路2代码：（自己写的 仅供参考）

#include
void main()
{
	int num[5] = {0};
	int i = 0;
	for (i = 0; i < 5; i++)
	{
		scanf("%d", &num[i]);
	}
	int sum = 0;
	int sum_num = 0;
	for (i = 0; i < 6; i++)
	{
		sum = sum + i;
	}
	for (i = 0; i < 5; i++)
	{
		sum_num = sum_num + num[i];
	}
	printf("缺%d.", sum - sum_num);
}

思路3主要代码

练习2：

 

 

 

思路3代码：