C++前缀和算法：合并石头的最低成本原理、源码及测试用例

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
动态规划，日后完成。

题目

有 n 堆石头排成一排，第 i 堆中有 stones[i] 块石头。
每次 移动 需要将 连续的 k 堆石头合并为一堆，而这次移动的成本为这 k 堆中石头的总数。
返回把所有石头合并成一堆的最低成本。如果无法合并成一堆，返回 -1 。
示例 1：
输入：stones = [3,2,4,1], K = 2
输出：20
解释：
从 [3, 2, 4, 1] 开始。
合并 [3, 2]，成本为 5，剩下 [5, 4, 1]。
合并 [4, 1]，成本为 5，剩下 [5, 5]。
合并 [5, 5]，成本为 10，剩下 [10]。
总成本 20，这是可能的最小值。
示例 2：
输入：stones = [3,2,4,1], K = 3
输出：-1
解释：任何合并操作后，都会剩下 2 堆，我们无法再进行合并。所以这项任务是不可能完成的。.
示例 3：
输入：stones = [3,5,1,2,6], K = 3
输出：25
解释：
从 [3, 5, 1, 2, 6] 开始。
合并 [5, 1, 2]，成本为 8，剩下 [3, 8, 6]。
合并 [3, 8, 6]，成本为 17，剩下 [17]。
总成本 25，这是可能的最小值。
提示：
n == stones.length
1 <= n <= 30
1 <= stones[i] <= 100
2 <= k <= 30

分析

dp[begin][end]记录stones[begin,end)合并后的最小得分。时间复杂度O(nnn)，状态数:n*n，转移状态时间复杂度O(n)。

状态转移

假定stones[begin,end)是由stone[begin,m)和stone[m,end)合并成的，m取值范围(begin,end)。stone[begin,m)简称左堆，stone[m,end)简称右堆。

左右两堆剩余石头数之和小于k	dp[begin][end] = dp[begin][m]+dp[m][end]
左右两堆剩余石头数之和等于于k	dp[begin][end] = dp[begin][m]+dp[m][end]+vPreSum[begin][end],石头发生了合并
左右两堆剩余石头数之和大于于k	抛弃

左右两堆剩余石头数之和大于于k

抛弃左右两堆剩余石头数之和大于于k，也可以找到最优解。

最后一轮	只有k个石头，故不会超过k
倒数第二轮	只有2k-1个石头，假定其范围是[i0,j0)，倒数第二轮是[i1,j1)， 那么[i0,j0)会合并，这时两堆石头恰好是k，故不会超过k
…	…

剩余石头数

每次合并后，石头数减少k-1。所有石头数减1，再对k-1求求余，再加1。
注意：先判断石头数是否是1，不是直接返回-1。

代码

核心代码

class Solution {
public:
	int mergeStones(vector<int>& stones, int K) {
		m_c = stones.size();
		if (1 != RemainLen(m_c,K))
		{
			return -1;
		}
		vector<int> vPreSum = { 0 };
		for (const auto& n : stones)
		{
			vPreSum.emplace_back(n + vPreSum.back());
		}
		vector<vector<int>> dp(m_c,vector<int>(m_c+1));//dp[i][j] 表示合并stones[i,j)的最小成本
		for (int len = 2; len <= m_c; len++)
		{
			for (int begin = 0; begin + len <= m_c; begin++)
			{
				const int end = begin + len;
				int iMin = INT_MAX;
				for (int m = begin + 1; m < end; m++)
				{
					const int iAdd = RemainLen(m - begin, K) + RemainLen(end - m, K);
					if (iAdd > K)
					{
						continue;
					}
					int cur = dp[begin][m] + dp[m][end];
					iMin = min(iMin, cur);
				}
				
				if (1 == RemainLen(len, K))
				{
					iMin += vPreSum[end] - vPreSum[begin];
				}
				dp[begin][end] = iMin;
			}			
		}
		return dp.front().back();
	}
	int RemainLen(int len, int k)
	{
		return 1+(len - 1) % (k - 1);
	}
	int m_c;
};

测试代码

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		assert(v1[i] == v2[i]);
	}
}

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}








int main()
{
	vector<int> stones = { 3,5,1,2,6 };
	int k = 3;
	int res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(25, res);

	stones = { 3,2,4,1 };
	 k = 2;
	 res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(20, res); 

	stones = { 1,2,3,4,5,6,7 };
	k = 3;
	res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(49, res);

	stones = { 1,2,3,4,5,6,7 };
	k = 4;
	res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(38, res);

	stones = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };
	k = 5;
	res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(60, res);
	//
	stones = { 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 };
	k = 2;
	res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(135, res);

	stones = { 9,8,7,6,5,4,3,2,1 };
	k = 3;
	res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(87, res);

	stones = { 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 };
	k = 4;
	res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(91, res);

	//
	stones = { 5,8,7,6,5,12,13,14,4,3,2,1,2 };
	k = 4;
	res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(155, res);

	stones = { 2,8,7,6,5,12,13,14,4,3,2,1,2 };
	k = 5;
	res = Solution().mergeStones(stones, k);
	Assert(119, res);
	//CConsole::Out(res);
}

旧版代码

 template<class T>
 void MinSelf(T* seft, const T& other)
 {
	 *seft = min(*seft, other);
 }
class Solution {
 public:
	 int mergeStones(vector<int>& stones, int k) {
		 m_k = k;
		 m_c = stones.size();
		 m_dp.assign(m_c + 1, vector<vector<int>>(m_c, vector<int>(k + 1, 1000 * 1000 * 100)));

		 vector<int> vPreSum(1);
		 for (const auto& stone : stones)
		 {
			 vPreSum.push_back(vPreSum.back() + stone);
		 }
		 for (int pos = 0; pos + 1 - 1 < m_c; pos++)
		 {
			 m_dp[1][pos][1] = 0;
		 }
		 for (int len = 2; len <= m_c; len++)
		 {
			 for (int pos = 0; pos+len <= m_c; pos++)
			 {
				 //int iEnd = pos + len - 1;
				 for (int iHeapNum = 2; iHeapNum <= k; iHeapNum++)
				 {
					 for (int iPreLen = 1; iPreLen < len; iPreLen += k - 1)
					 {
						 MinSelf(&m_dp[len][pos][iHeapNum], m_dp[iPreLen][pos][1] + m_dp[len - iPreLen][pos + iPreLen][iHeapNum - 1]);
					 }
				 }
				 m_dp[len][pos][1] = m_dp[len][pos][k] + vPreSum[pos + len] - vPreSum[pos];
			 }			
		 }		

		 return (m_dp[m_c][0][1] >= 1000 * 1000 * 100) ? -1 : m_dp[m_c][0][1];
	 }
	 
	 int m_k;
	 int m_c;
	 vector<vector<vector<int>>> m_dp;
 };

旧版代码2

 template<class T>
 void MinSelf(T* seft, const T& other)
 {
	 *seft = min(*seft, other);
 }

 class Solution {
 public:
	 int mergeStones(vector<int>& stones, int k) {
		 m_k = k;
		 m_c = stones.size();
		 m_dp.assign(m_c + 1, vector<int>(m_c, ( 1000 * 1000 * 100)));

		 if ((m_c-1) % (k - 1) != 0)
		 {
			 return -1;
		 }

		 vector<int> vPreSum(1);
		 for (const auto& stone : stones)
		 {
			 vPreSum.push_back(vPreSum.back() + stone);
		 }
		 for (int pos = 0; pos + 1 - 1 < m_c; pos++)
		 {
			 m_dp[1][pos] = 0;
		 }
		 for (int len = 2; len <= m_c; len++)
		 {
			 for (int pos = 0; pos+len <= m_c; pos++)
			 {
				 for (int iPreLen = 1; iPreLen < len; iPreLen += k - 1)
				 {
					 MinSelf(&m_dp[len][pos], m_dp[iPreLen][pos] + m_dp[len - iPreLen][pos + iPreLen]);
				 }
				 if ((len-1) % (k - 1) == 0)
				 {
					 m_dp[len][pos] +=  vPreSum[pos + len] - vPreSum[pos];
				 }
			 }			
		 }		

		 return (m_dp[m_c][0] >= 1000 * 1000 * 100) ? -1 : m_dp[m_c][0];
	 }
	 
	 int m_k;
	 int m_c;
	 vector<vector<int>> m_dp;
 };

旧版代码三

class Solution {
public:
int mergeStones(vector& stones, int k) {
m_c = stones.size();
if (0 != (m_c - 1) % (k-1))
{
return -1;
}
vector vPreSum(1);
for (const auto& n : stones)
{
vPreSum.emplace_back(vPreSum.back() + n);
}
vector vLenBegin(m_c + 1, vector(m_c));
for (int len = k; len <= m_c; len++)
{
for (int begin = 0; begin + len - 1 < m_c; begin++)
{
int iMaxPreScore = INT_MAX;
for (int lLen = 1; lLen < len; lLen += (k - 1))
{
int rLen = len - lLen;
iMaxPreScore = min(iMaxPreScore, vLenBegin[lLen][begin] + vLenBegin[rLen][begin + lLen]);
}
if (0 == (len - 1) % (k - 1))
{
iMaxPreScore += vPreSum[begin + len] - vPreSum[begin];
}
vLenBegin[len][begin] = iMaxPreScore ;
}
}
return vLenBegin.back().front();
}
int m_c;
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

相关下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《闻缺陷则喜算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653

鄙人想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17