动态规划之爬楼梯问题

爬楼梯问题是一个常见的动态规划问题，它可以通过不同的方法来解决。以下是一些示例，以便您更好地理解这个问题：

示例 1：基础递归

int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2) return n;
    return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}

这是一个基本的递归方法，但它效率低下，因为它会重复计算相同的子问题。

示例 2：带记忆化的递归

int climbStairs(int n, std::vector<int>& memo) {
    if (n <= 2) return n;
    if (memo[n] != 0) return memo[n];
    memo[n] = climbStairs(n - 1, memo) + climbStairs(n - 2, memo);
    return memo[n];
}

这个示例使用了递归，并且通过一个记忆化数组（memo）来避免重复计算，提高了效率。

示例 3：迭代方法

int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2) return n;
    int a = 1, b = 2, c;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return c;
}

这个示例使用迭代方法，使用两个变量 a 和 b 来保存前两阶的方法数，然后依次计算后续阶的方法数。

示例 4：矩阵快速幂

int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2) return n;
    std::vector<std::vector<int>> matrix = {{1, 1}, {1, 0}};
    matrix = matrixPower(matrix, n - 2);
    return 2 * matrix[0][0] + matrix[0][1];
}

std::vector<std::vector<int>> matrixPower(std::vector<std::vector<int>> matrix, int n) {
    if (n == 1) return matrix;
    if (n % 2 == 0) {
        std::vector<std::vector<int>> temp = matrixPower(matrix, n / 2);
        return multiply(temp, temp);
    } else {
        std::vector<std::vector<int>> temp = matrixPower(matrix, n / 2);
        return multiply(multiply(temp, temp), matrix);
    }
}

std::vector<std::vector<int>> multiply(std::vector<std::vector<int>> A, std::vector<std::vector<int>> B) {
    std::vector<std::vector<int>> result(2, std::vector<int>(2, 0));
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            for (int k = 0; k < 2; k++) {
                result[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
        }
    }
    return result;
}

这个示例使用矩阵快速幂的方法，通过将问题转化为矩阵乘法来解决。

这些示例展示了解决爬楼梯问题的不同方法，从基本的递归到更高效的动态规划和矩阵快速幂方法。您可以根据实际需求和性能要求来选择适当的方法。