FFT算法的C语言实现

FFT算法的C语言实现

：数字信号处理

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需要注意的几个点

整体实现

比特逆序

旋转因子

三大循环

算法原理

$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\times e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$
在将信号进行补零，变为偶数序列的时候
$$\begin{gathered} 0<=k<=N/2 \\ X(k)=X_1(k)+W_n^k\times X_2(k) \end{gathered}$$
再利用$W_N^k$的可约性质，可以得到
$$\begin{gathered} 0<=k<=N/2 \\ X(k+\frac{N}{2})=X_1(k)-W_n^k\times X_2(k) \end{gathered}$$

一些重要的关系

关于蝶群和蝶形运算

对于图中表的红色方框的就是一个蝶群，可以看到一个蝶群中可能包含有多个蝶形，左边第一个蝶群中就是包含了一个蝶形，而右边包含了两个蝶形。
经过分析可以知道，如果以左边的输入序列为第0级，而最右边为第M级（假设序列的长度为2的M次幂），则可以知道第M级只有一个蝶群，这个蝶群中含有$2^{(}m-1)$个蝶形和旋转因子。
经过分析可以看到第i级，有$2^{M-i}$个蝶群，比如以上图为例，第一级有$2^{3-1}=4$个蝶群。

关于旋转因子的分析

我们知道对于每一级分解之后，关于$W_N^k$中的N的值是不断变化的，从最后一级来分析。

$$\begin{gathered} N=2^M \\ {W}_N^k=e^{-j\frac{2\pi }{2^M}nk} \end{gathered}$$
对于倒数第二级
$$\begin{gathered} N=2^{(}M-1) \\ {W}_N^k=e^{-j\frac{2\pi }{2^{(}M-1)}nk} \end{gathered}$$

对于第i级
$$\begin{gathered} N=2^{(}M-(M-i)) \\ {W}_N^k=e^{-j\frac{2\pi }{2^{(}M(M-i))}nk} \\ =e^{-j\frac{2\pi }{2^i}} \end{gathered}$$

于是可以得到一个普遍的规律，对于第i级的旋转因子为
$$W_N^k=e^{-j\frac{2\pi }{2^i}}$$

编程主要使用到了三大循环

最外层的循环：级数的循环
中间的循环：旋转因子的个数（也是每一个蝶群中，蝶形的个数）
最内层的循环：一个旋转因子需要给多少个蝶群使用。

void fft(complexNumber* sequence, int order, int length, complexNumber * result)
{
int i, j, k;
copyComplex(sequence, length, result);
//THE FIRST LOOP 
for(i=0; i

}

这里仍然有很多需要注意的细节，比如关于逆序的时候，我们需要首先判断需要使用多少位宽的空间来存放数据，然后才能进行逆序，如果直接使用一个固定的位宽来进行逆序，那么除非你将所有的输入的序列继续补零到固定的值，然后再对这个整体的数据进行逆序，否则就是错误的，但是如果补零到固定的个数，那么就对造成浪费，而且fft的点数也就确定了。
**还有一个需要注意的点是，相邻两个蝶群的距离是多少，为什么需要这个参数呢？因为只有得到这个参数之后，我们才能知道同一个旋转因子，下一次需要的位置, $2^i$，就是总共旋转因子个数（一个蝶群中蝶形的个数）的二倍。

结果展示

使用matlab的标准结果

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