CF1168C And Reachability

Toad Pimple 有一个整数数组 $a_1,\cdots ,a_n$，我们称$x$到$y$可达当且仅当：

1. $x<y$
2. 存在一个数组 $p$，其中 $x=p_1<p_2<...<p_k=y$，并且对于任意 $1\le i<k$，满足 $a_{p_i}\&a_{p_{i+1}}>0$

现在给定$Q$组下标 $(X_i,Y_i)$，请检查它们是否可达。

---

考虑从 $y$ 跳到 $x$，如果我们可以找到一个 $a_i$ 满足第 $j$ 位是 $1$ 且 $a_l$ 在这一位也是 $1$，并且 $r$ 可以跳到这个位置 $i$，就是可行的。

显然，我们要尽可能让这个位置贴近 $r$，因为这样更有“优势”，可以让更多的 $l$ 可行。

设 $f_{i,j}$ 表示一个最大的下标 $x$ 满足小于等于 $i$，$a_x$ 第 $j$ 位是 $1$。

有朴素转移：$f_{i,j}=\underset{k=1}{\overset{i-1}{\max }}{f}_{k,j}$，转移条件 $a_i\&a_k>0$；特殊地，当 $a_i$ 第 $j$ 为是 $1$ 时，$f_{i,j}=i$。

这是 $O(n^2)$ 的，思考如何优化。

发现转移条件 $a_i\&a_k>0$，可以转换为枚举第 $x$ 位，如果 $a_i$ 和 $a_k$ 的第 $x$ 为都为 $1$，这样就可以转移。

又有性质 $f_{i,j}$ 随 $i$ 单调递增，那么肯定是选最大的 $k$ 一定最优。

所以用 $pr{e}_j$ 记录当前上一个下标 $x$ 满足 $a_x$ 的第 $j$ 位为 $1$。转移就变成

$$f_{i,j}=\underset{k=0}{\overset{m}{\max }}{f}_{pr{e}_k,j}$$

对每个 $i$ 转移完后记得更新 $pr{e}_j$。

时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n+q\log n)$

#include
using namespace std;
const int N=3e5+1,NN=19;
int n,q,a[N],f[N][NN+1],pre[NN];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<NN;j++){
            for(int k=0;k<NN;k++){
                if(a[i]>>k&1){
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[pre[k]][j]);
                }
            }
        }
        for(int j=0;j<NN;j++){
            if(a[i]>>j&1){
                pre[j]=i;
                f[i][j]=max(f[i][j],i);
            }
        }
    }
    for(int i=1,x,y;i<=q;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        for(int j=0;j<NN;j++){
            if(a[x]>>j&1){
                if(f[y][j]>=x){
                    puts("Shi");
                    goto a;
                }
            }
        }
        puts("Fou");
        a:;
    }
}