数据结构与算法之美读书笔记11

归并排序的原理

如果要排序一个数组，那么先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。

归并排序使用的是分治思想。

分治，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了，大问题也就解决了。

分治思想跟递归思想很像。分治算法一般都是用递归来实现的。

如何用递归代码来实现归并排序

写递归代码的技巧

        先分析得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。

递推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))

终止条件：
p >= r 不用再继续分解

merge_sort(p…r)表示，给下标从p到r之间的数组排序。将这个排序问题转化为了两个子问题，merge_sort(p…q)和merge_sort(q+1…r)，其中下标q等于p和r的中间位置，也就是(p+r)/2。当下标从p到q和从q+1到r这两个子数组都排好序之后，再将两个有序的子数组合并在一起，这样下标从p到r之间的数据就也排好序了。

申请一个临时数组tmp，大小与A[p…r]相同。

用两个游标i和j，分别指向A[p…q]和A[q+1…r]的第一个元素。比较这两个元素A[i]和A[j]，如果A[i]<=A[j]，就把A[i]放入到临时数组tmp，并且i后移一位，否则将A[j]放入到数组tmp，j后移一位。

继续上述比较过程，直到其中一个子数组中的所有数据都放入临时数组中，再把另一个数组中的数据依次加入到临时数组的末尾，这个时候，临时数组中存储的就是两个子数组合并之后的结果了。最后再把临时数组tmp中的数据拷贝到原数组A[p…r]中。

merge()函数伪代码

merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r]) {
  var i := p，j := q+1，k := 0 // 初始化变量i, j, k
  var tmp := new array[0...r-p] // 申请一个大小跟A[p...r]一样的临时数组
  while i<=q AND j<=r do {
    if A[i] <= A[j] {
      tmp[k++] = A[i++] // i++等于i:=i+1
    } else {
      tmp[k++] = A[j++]
    }
  }
  
  // 判断哪个子数组中有剩余的数据
  var start := i，end := q
  if j<=r then start := j, end:=r
  
  // 将剩余的数据拷贝到临时数组tmp
  while start <= end do {
    tmp[k++] = A[start++]
  }
  
  // 将tmp中的数组拷贝回A[p...r]
  for i:=0 to r-p do {
    A[p+i] = tmp[i]
  }
}

归并排序的时间复杂度任何情况下都是O(nlogn)。

快速排序的原理

快排利用的也是分治思想。

快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从p到r之间的一组数据，选择p到r之间的任意一个数据作为pivot（分区点）。

遍历p到r之间的数据，将小于pivot的放到左边，将大于pivot的放到右边，将pivot放到中间。经过这一步骤之后，数组p到r之间的数据就被分成了三个部分，前面p到q-1之间都是小于pivot的，中间是pivot，后面的q+1到r之间是大于pivot的。

根据分治、递归的处理思想，可以用递归排序下标从p到q-1之间的数据和下标从q+1到r之间的数据，直到区间缩小为1，就说明所有的数据都有序了。

如果我们用递推公式来将上面的过程写出来的话，就是这样：

递推公式：
quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)

终止条件：
p >= r

伪代码

// 快速排序，A是数组，n表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
  quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p,r为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
  if p >= r then return
  
  q = partition(A, p, r) // 获取分区点
  quick_sort_c(A, p, q-1)
  quick_sort_c(A, q+1, r)
}

但是，如果按照这种思路实现的话，partition()函数就需要很多额外的内存空间，所以快排就不是原地排序算法了。如果我们希望快排是原地排序算法，那它的空间复杂度得是O(1)，那partition()分区函数就不能占用太多额外的内存空间，我们就需要在A[p…r]的原地完成分区操作。

原地分区函数的实现思路非常巧妙，我写成了伪代码，我们一起来看一下。

partition(A, p, r) {
  pivot := A[r]
  i := p
  for j := p to r-1 do {
    if A[j] < pivot {
      swap A[i] with A[j]
      i := i+1
    }
  }
  swap A[i] with A[r]
  return i

这里的处理有点类似选择排序。我们通过游标i把A[p…r-1]分成两部分。A[p…i-1]的元素都是小于pivot的，我们暂且叫它“已处理区间”，A[i…r-1]是“未处理区间”。我们每次都从未处理的区间A[i…r-1]中取一个元素A[j]，与pivot对比，如果小于pivot，则将其加入到已处理区间的尾部，也就是A[i]的位置。

数组的插入操作还记得吗？在数组某个位置插入元素，需要搬移数据，非常耗时。当时我们也讲了一种处理技巧，就是交换，在O(1)的时间复杂度内完成插入操作。这里我们也借助这个思想，只需要将A[i]与A[j]交换，就可以在O(1)时间复杂度内将A[j]放到下标为i的位置。

文字不如图直观，所以我画了一张图来展示分区的整个过程。

因为分区的过程涉及交换操作，如果数组中有两个相同的元素，比如序列6，8，7，6，3，5，9，4，在经过第一次分区操作之后，两个6的相对先后顺序就会改变。所以，快速排序并不是一个稳定的排序算法。

到此，快速排序的原理你应该也掌握了。现在，我再来看另外一个问题：快排和归并用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？

归并排序的处理过程是由下到上的，先处理子问题，然后再合并。

快排正好相反，是由上到下的，先分区，然后再处理子问题。归并排序虽然是稳定的、时间复杂度为O(nlogn)的排序算法，但是它是非原地排序算法。归并之所以是非原地排序算法，主要原因是合并函数无法在原地执行。快速排序通过设计巧妙的原地分区函数，可以实现原地排序，解决了归并排序占用太多内存的问题。