【算法笔记】前缀和与差分

前缀和与差分

算法是解决问题的方法与步骤。

在看一个算法是否优秀时，我们一般都要考虑一个算法的时间复杂度和空间复杂度。

现在随着空间越来越大，时间复杂度成为了一个算法的重要指标，那么如何估计一个算法的时间复杂度呢？

常见的时间复杂度：O(1) O(logn) O(n) O(nlogn) O(n2) O(2n) O(n!)

1.时间复杂度

时间复杂度：分析算法的执行效率。

示例：

时间复杂度为O(1)

int fun(int n){
    int i=n;
    int j=3*n;
    return i+j;
}

时间复杂度为O(logn)

int fun(int n){
    int i=1;
    while(i<=n)
        i*=2;
    return i;
}

时间复杂度为O(n)

int fun(int n){
    int sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        sum+=i;
    }
    return sum;
}

时间复杂度为O(m+n)

int fun(int m,int n){
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        sum+=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum+=i;
    return sum;
}

时间复杂度为O(mlogn)

int fun(int m,int n){
    int sum=0;
    for(int i=0;i<m;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            sum+=i*j;
            j=j*2;
        }
    }
    return sum;
}

时间复杂度为O(n2)

int fun(int n){
    int sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            sum+=i*j;
        }
    }
    return sum;
}

时间复杂度为O(n!)

void fun(int k, int n) { //k==n
	if (k == 1) {
		return;
	}
	for (int i = n - k ; i < n; i++) {
		fun(k - 1, n);
	}
}

常见的时间复杂度：O(1)

通常情况下，竞赛环境中要求运行时间为1秒。计算机1秒可以执行的次数为10亿次。10^9

2.空间复杂度

空间复杂度：算法所占内存空间。

空间复杂度为O(1)

int fun(int n){
    int sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        sum+=i;
    return sum;
}

空间复杂度为O(n)

int fun(int n)
{
    int arr[N];
    while(i<=N)
         i=i*2;
    return i;
}

空间复杂度为O(MN)

int fun(int m,int n)
{
    int arr[M][N];
    for(int i=1;i<=m;i++)
         for(int j=1;j<=n;j++)
              sum+=arr[i][j];
   return sum;
}

**常见的时间复杂度：O(1) < O(n) < O(n2) **

3.一维前缀和

前缀和可以用于快速计算一个序列的区间和，也有很多问题里不是直接用前缀和，但是借用了前缀和的思想。

3.1 概念

预处理出一个前缀和数组后，要求一段区间和可以使用O(1)的时间复杂度快速求出。

公式：

预处理:s[i]=a[i]+a[i-1]

求区间[l,r]:sum=s[r]-s[l-1]

'‘前缀和数组’‘和’‘原数组’'可以合二为一

3.2 例题

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

AC代码:

#include 

using namespace std;

const int N=100010;

int a[N];

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]+a[i];
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",a[r]-a[l-1]);
    }
    return 0;
}

4.二维前缀和

二维前缀和记录的是在一个二维矩阵中，从左上角开始到矩阵的某个点构成的子矩阵中所有元素的和。

4.1 概念

预处理出一个前缀和二维数组后，要求一段二维区间和可以使用O(1)的时间复杂度快速求出。

计算矩阵的前缀和：s[x][y] = s[x - 1][y] + s[x][y -1] - s[x -1][y-1] + a[x][y]

计算子矩阵的和：计算子矩阵的和：s = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 -1]

4.2 例题

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

AC代码:

#include 

using namespace std;

int s[1010][1010];

int n,m,q;

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&s[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
    while(q--){
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}

5.一维差分

5.1 差分数组的定义及用途

1.定义：对于已知有n个元素的离线数列a，我们可以建立记录它每项与前一项差值的差分数组b：显然，b[1]=a[1]-0=a[1];对于整数i∈[2,n]，我们让b[i]=a[i]-a[i-1]。

2.简单性质：
(1)计算数列各项的值：观察a[2]=b[1]+b[2]=a[1]+a[2]-a[1]=a[2]可知，数列第i项的值是可以用差分数组的前i项的和计算的，即a[i]=b[i]的前缀和。

差分是前缀和的逆运算，对于一个数组a，其差分数组b的每一项都是a [ i ]和前一项a [ i − 1 ]的差。
即b [ i ] = a [ i ] − a [ i − 1 ]。
通过差分数组b，求b的前缀和，就可以求得原数组a的每项值。
和前缀和类似的，也是要留出索引是0的位置b [0]=0，方便计算。

注意：差分数组和原数组必须分开存放！！！！

5.2 例题

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c表示将序列中 [l,r][,] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000
1≤l≤r≤n
−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

AC代码:

#include 

using namespace std;
int a[100010],s[100010];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];   
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=a[i]-a[i-1];// 读入并计算差分数组
    while(m--){
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        s[l]+=c;
        s[r+1]-=c;// 在原数组中将区间[l, r]加上c
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        s[i]+=s[i-1];
        cout<<s[i]<<' ';
    }// 给差分数组计算前缀和，就求出了原数组
    return 0;
}

6.二维差分（矩阵）

6.1 二维差分的定义

二维差分用于在一个矩阵里，快速里把矩阵的一个子矩阵加上一个固定的数。也是直接来修改差分矩阵。试想只要在差分矩阵的( x 1 , y 1 ) 位置加上c，那么以它为左上角，所有后面的元素就都加上了c。要让( x 2 , y 2 ) 的右边和下边的元素不受影响，由容斥原理可以知道，只要在( x 2 + 1 , y 1 ) 和( x 1 , y 2 + 1 ) 位置减去c，再从( x 2 + 1 , y 2 + 1 ) 位置加回c就可以了。

6.2 例题

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c,，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

AC代码:

#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);      //构建差分数组
        }
    }
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);//加c
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  //二维前缀和
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

【背】关键代码：

一维前缀和

预处理:s[i]=a[i]+a[i-1] //前缀和数组
求区间[l,r]:sum=s[r]-s[l-1] //求区间和

二维前缀和

s[x][y] = s[x - 1][y] + s[x][y -1] - s[x -1][y-1] + a[x][y] //二维前缀和数组`

s = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 -1]//`计算子矩阵的和

一维差分

b [ i ] = a [ i ] − a [ i − 1 ]

   s[l]+=c;
        s[r+1]-=c;// 在原数组中将区间[l, r]加上c

二维差分

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

insert(i, j, i, j, a[i][j]);      //构建差分数组
 insert(x1, y1, x2, y2, c);       //子矩阵加c

b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  //二维前缀和