大话数据结构学习笔记（2）

第二章 算法

算法的定义：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法具有5个基本特性：输入，输出，有穷性，确定性和可行性。

输入输出：算法剧透零个或多个输入，至少一个输出。

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

确定性：算法的每一步都具有确定的含义，不会出现二义性。

可行性：算法的每一步都是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

一个好的算法应该具备正确性，可读性，健壮性，高效率和低存储量的特点。

算法效率的度量方法：事后统计方法和事前分析估算法；

事后统计法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

事前分析估算法：在程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

测定算法运行时间最可靠的方法就是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数，运行时间与这个计数成正比。

函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐进大于g(n)。

判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

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上面这组数据可以看出，当n的值越来越大，会发现，3n+1已经没法和2n^2的结果相比较，最终几乎可以忽略不计。同时随着n的值变得非常大之后，算法G 已经非常趋近于算法I了。

算法时间复杂度：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度也就是算法的时间量度，记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

O(1)-常数阶

O(n)-线性阶

O(n^2)-平方阶

推导大O阶方法：

1.用常数1取代运行时间中所有的加法常数；

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；

3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数；

得到的结果就是大O阶。

分析算法的时间复杂度关键就是分析循环结构的运行情况。

常见的时间复杂度：

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最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况运行时间。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。