计算机算法分析与设计（18）---回溯法(介绍、子集和问题C++代码)

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一、回溯法介绍

 1. 回溯法（back tracking）是一种选优搜索法，又称为试探法，有“通用的解题法”之称，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回到上一步，重新选择，这种走不通就退回再走的技术称为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

 2. 回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都是用了递归。回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。

 3. 问题的解空间：

• 一个复杂问题的解决方案往往是由若干个小的决策步骤组成的决策序列。
• 问题的解可以表示成解向量 $X=(X_0，X_1，...，X_{n-1})$，其中分量 $X_i$ 对应第 $i$ 步的选择。
• $X$ 中各个分量 $X_i$ 所有的取值的组合构成问题的解向量空间，简称为解空间。
• 解空间一般用树形式来组织，也称为解空间树或者状态空间树。

 4. 回溯法基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

 5. 回溯法的基本步骤

• (1) 针对所给问题，定义问题的解空间。
• (2) 确定易于搜索的解空间结构。
• (3) 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

二、子集和问题

2.1 知识概述

注意：尽管通过剪支提高了算法的性能，但究竟剪去了多少结点与具体的实例数据相关。上述算法最坏情况下的时间复杂度仍然为 $O(n^2)$。

2.2 代码编写

#include
using namespace std;

#define max 100 

int a[max],b[max];
int sum = 0, m, n; //m为目标值,n为集合的大小
void Solve(int k)
{
	if (k == n)     
	{
		if (sum == m) //相等时输出一个解
		{
			cout << "符合目标值的一个子集为：";
			for (int i = 0; i < n; i++)
				if (b[i] != 0)
					cout << b[i] << " ";
			cout << endl;
			return;
		}
	}
	else
	{
		sum = sum + a[k];
		b[k] = a[k];
		Solve(k + 1);
		sum = sum - a[k]; //回溯时先还原
		b[k] = 0;
		Solve(k + 1);
	}
}
int main()
{
	memset(b, 0, sizeof(b)); //将b数组设置为0 
	cout << "请输入集合S元素个数n：";
	cin >> n;
	
	cout << "请输入集合S元素:";
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> a[i];         //数组a存放集合中的值 
		
	cout << "请输入目标值：";
	cin >> m;
	
	Solve(0);
	return 0;
}