【算法优选】 前缀和专题——贰

前言

含义：

• 前缀和实际上就是对于长度为n的数组，我们新建立一个数组长度为n+1，第i个元素的值为前i个元素的和（包括第i个元素）。

特点：

1. 前缀和数组比原数组多一个长度。
2. 前缀和的第0个元素的值为0。
3. 根据前缀和数组的特点，求前缀和时。我们只需要用第i个元素的值+第i-1个前缀个数组的值就可能得到第i个前缀和数组的值。（这也是一种动态规划的思想）。

应用：

• 前缀和算法可以解决一些在数组中与连续有关的问题

寻找数组的中心下标

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请计算数组的 中心下标 。

数组 中心下标 是数组的一个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。

如果中心下标位于数组最左端，那么左侧数之和视为 0 ，因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。

如果数组有多个中心下标，应该返回 最靠近左边 的那一个。如果数组不存在中心下标，返回 -1 。

• 示例 1：
  输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]
  输出：3
  解释：
  中心下标是 3 。
  左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ，
  右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ，二者相等。

• 示例 2：
  输入：nums = [1, 2, 3]
  输出：-1
  解释：
  数组中不存在满足此条件的中心下标。

• 示例 3：
  输入：nums = [2, 1, -1]
  输出：0
  解释：
  中心下标是 0 。
  左侧数之和 sum = 0 ，（下标 0 左侧不存在元素），
  右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。

class Solution {
    public int pivotIndex(int[] nums) {

    }
}

算法思路：

从中⼼下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀
和」。

• 因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表⽰前缀和，另⼀个表⽰后缀和。

• 然后，我们可以⽤⼀个 for 循环枚举可能的中⼼下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标

代码实现

class Solution {
    public int pivotIndex(int[] nums) {
        // lsum[i] 表⽰：[0, i - 1] 区间所有元素的和
        // rsum[i] 表⽰：[i + 1, n - 1] 区间所有元素的和
        int n = nums.length;
        int[] lsum = new int[n];
        int[] rsum = new int[n];
        // 预处理前缀和后缀和数组
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            lsum[i] = lsum[i - 1] + nums[i - 1];
        }
            
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            rsum[i] = rsum[i + 1] + nums[i + 1];
        }

        // 判断
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            if(lsum[i] == rsum[i]) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

除自身以外数组的乘积

给你一个整数数组 nums，返回 数组 answer ，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积 。

题目数据 保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。

请 不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

• 示例 1:
  输入: nums = [1,2,3,4]
  输出: [24,12,8,6]

• 示例 2:
  输入: nums = [-1,1,0,-3,3]
  输出: [0,0,9,0,0]

class Solution {
    public int[] productExceptSelf(int[] nums) {

    }
}

算法思路：

注意题⽬的要求，不能使⽤除法，并且要在 O(N) 的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使
⽤暴⼒的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的⽅法。

继续分析，根据题意，对于每⼀个位置的最终结果 ret[i] ，它是由两部分组成的：

1. nums[0] * nums[1] * nums[2] * … * nums[i - 1]

2. nums[i + 1] * nums[i + 2] * … * nums[n - 1]

于是，我们可以利⽤前缀和的思想，使⽤两个数组post和suf，分别处理出来两个信息：

1. post表⽰：i位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积，

2. suf表⽰：i位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积然后再处理最终结果

代码实现：

class Solution {
    public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
        // lprod 表⽰：[0, i - 1] 区间内所有元素的乘积
        // rprod 表⽰：[i + 1, n - 1] 区间内所有元素的乘积
        int n = nums.length;
        int[] lprod = new int[n];
        int[] rprod = new int[n];
        lprod[0] = 1; 
        rprod[n - 1] = 1;
        // 预处理前缀积以及后缀积
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            lprod[i] = lprod[i - 1] * nums[i - 1];
        }
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            rprod[i] = rprod[i + 1] * nums[i + 1];
        }
        // 处理结果数组
        int[] ret = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            ret[i] = lprod[i] * rprod[i];
        }
        return ret;
    }
}

⭕总结

关于《【算法优选】 前缀和专题——贰》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！