python求定积分：quad函数

示例

quad是scipy.integrate中最常用的积分函数，示例如下

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

func = lambda x: x**2
quad(func, 0, 4)
# (21.333333333333332, 2.3684757858670003e-13)
quad(np.sin, 0, np.pi)
# (2.0, 2.220446049250313e-14)

在上面的代码中，func为待积分函数，后面紧跟着的两个参数表示积分的下界和上界。返回值有二，分别为积分结果和计算误差。

用于测试的两个函数的解析形式如下，可见计算结果吻合。

∫ 0 4 x 2 d x = 1 3 x 3 ∣ 0 4 = 64 3 ≈ 21.3 ∫ 0 π sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x ∣ 0 π = 2 \int_0^4 x^2\text dx=\frac{1}{3}x^3\big|^4_0=\frac{64}{3}\approx 21.3\\ \int^\pi_0\sin x\text dx=-\cos x\big|^\pi_0=2 ∫04​x2dx=31​x3 ​04​=364​≈21.3∫0π​sinxdx=−cosx ​0π​=2

完整参数

quad的完整参数如下

scipy.integrate.quad(func, a, b, args=(), full_output=0, epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08, limit=50, points=None, weight=None, wvar=None, wopts=None, maxp1=50, limlst=50, complex_func=False)

其中，

• args为func函数中，除待求积分参数之外的其他参数
• epsabs, epsrel 分别为绝对和相对误差
• limit 自适应算法中子区间的个数
• points 断点位置
• weight, wvar 定义域区间内的权重类型和权重
• wopts, maxp1 切比雪夫矩及其上限

weight参数

其中，weight和wvar参数的具体取值如下。

weight	wvar	函数
“cos”	$w$	$\cos wx$
“sin”	$w$	$\sin wx$
“alg”	$\alpha ,\beta$	$g(x)$
“alg-loga”	$\alpha ,\beta$	$g(x)\log (x-a)$
“alg-logb”	$\alpha ,\beta$	$g(x)\log (b-x)$
“alg-log”	$\alpha ,\beta$	$g(x)\log (x-a)\log (b-x)$
“cauchy”	$c$	$\frac{1}{x-c}$

其中，$g(x)=(x-a{)}^{\alpha }\ast (b-x{)}^{\beta }$

设func为$f(x)=x$，若weight参数为cos，而wvar取值为$w$，则实际计算的积分表达式为

$${\int }_a^b\cos wf(x)\text{d}x$$

示例如下

func = lambda x : x
quad(func, 0, np.pi)
# (4.934802200544679, 5.478731025015592e-14)
quad(func, 0, np.pi, weight='cos', wvar=1)
# (-1.9999999999999993, 1.926079284799239e-13)