蝴蝶效应 课程分享18
这是通识选修课《经济研究中的计算方法》第七讲的内容之一。
一、一杯咖啡带来混沌初开
1961年冬天，年轻的麻省理工学院助教洛伦兹，在一台Royal McBee （皇家·麦克比）LPG-30计算机上，用一个仅包含12个微分方程的简单模式进行气候仿真模拟。在完成了一次计算后，他想用同样的模式重复。为了节省时间，他没有从头到尾重复这次计算，而是从程序的中段开始。于是他把上一次计算到这个位置输出的数据，作为这次计算的初始条件。然后，为了避开计算机恼人的噪音，他出去喝了杯咖啡。回来的时候，他被惊呆了。
根据常识，同样的程序和数据显然会导致同样的结果。但是第二次的预报结果与上一次大不一样。开始他认为是计算机的故障，排除了这种可能后，他发现，他输入的不是完整的数据。
洛伦兹的一个偶然发现，开辟了一个全新的科学领域——“混沌理论”，并引发了20世纪从相对论、量子力学之后的第三次科学革命。
二、洛伦兹
爱德华·诺顿·洛伦兹（Edward Norton Lorenz，1917—2008）是美国气象学家，混沌理论之父，蝴蝶效应的发现者。1917年5月23日洛伦兹出生在美国西康涅狄格州哈特福德。2008年4月16日因癌症在马萨诸塞州的家中去世，享年90岁。
洛伦兹1940年毕业于哈佛大学，并获得数学专业学位。第二次世界大战期间，洛伦兹作为气象预报员曾在美国陆军航空兵团服役。1943年获麻省理工学院理科硕士学位。1948年，进入该学院任教，从事气象学领域研究。1963年获美国气象学会迈辛格奖，同年提出“混沌理论”（Chaos Theory）。1969年获美国气象学会罗斯比研究奖章。
洛伦兹1972年提出“蝴蝶效应”（Butterfly Effect）。1973年获西蒙斯纪念金奖。1975年他成为美国国家科学院院士。1983年获得瑞典皇家科学院颁发的克拉福德奖（Crafoord Prize），这一奖项主要授予研究领域不在诺贝尔奖授奖范围内，而确有突出成就的科学家。1987年退休。1991年洛伦兹获得地球和星体学方面的基础科学“京都奖”（Kyoto Prize） ，评委会称他的混沌理论“继牛顿之后，为人类自然观带来了最为戏剧性的改变”。
三、蝴蝶效应
那天他走了一条捷径，没有令计算机从头运行，而是从中途开始。他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。而当他穿过大厅下楼喝了杯咖啡以后回来再看时却吃惊地发现：天气变化同上一次的模式迅速偏离，在短时间内，相似性完全消失了，简直相差十万八千里！再次验算发现计算机并没有毛病。洛伦兹发现，由于误差会以指数级增长，所以在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移将会造成截然不同的后果。
于是，洛伦兹认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”。这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！
1963年，洛伦兹在美国《气象学报》上发表了题为“确定性的非周期流”的论文，提出了在确定性系统中的非周期现象。第二年，他发表了另外一篇论文，指出对于模式中参数的微小改变将导致完全不一样的结果，使有规律的、周期性的行为，变成完全混乱的状态。
不过，他的发现没有引起任何注意，直到十年后他提出“蝴蝶效应”这个通俗却惊人的想法，才让人们了解到这一现象的重要性。
1972年美国科学发展学会第139次会议上，洛伦兹发表了题为“可预测性：巴西一只蝴蝶扇动翅膀，能否在得克萨斯州掀起一场龙卷风”的演讲。他认为，一个微小的初始条件变化可能导致一连串逐渐放大的改变，最终导致完全不同的结果——这个看似荒谬的论断，打碎了所有人关于“因果决定论可预测度”所存的幻想，最终产生了当今世界最伟大的理论之一——“混沌理论”。洛伦兹后来说，他原本想用海鸥做比喻的。一个同事告诉他，用“蝴蝶”可能会更生动，而选择“巴西”则纯粹是为了押韵。
蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。
蝴蝶效应说明，某些事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。
洛伦兹从这个惊人的结果发现，准确预测天气只是人类的幻想，进而揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，洛伦兹最初使用的是“海鸥效应”来形容这种现象，不过这并不是一个完全新颖的比喻：爱伦·坡曾声称人们挥着手可能会影响大气条件，但洛伦兹是第一次对此进行系统思考并形成新的理论的人。他把这一发现写成研究论文，于1963年出版，并于1972年正式提出“蝴蝶效应”这一著名的名词。
后来洛伦兹简化了方程组，只是抽象地刻划了大气真实运动的基本特点，既考虑了流动的速度，又考虑了热的传输，与真实的大气运动是大体类似的。他建立的3个方程是
dx/dt=10(y-x)
dy/dt=28x- y-xz
dz/dt=(8/3)z+xy
x、y、z是三个主要变量，t是时间，d/dt是对时间的变化率；常数28对应于不平稳对流刚开始后系统的状态。
用计算机进行这种“迭代”运算是很容易的。洛仑兹把x、y、z作为坐标画出了一个坐标空间，描绘了系统行为的相轨道，他吃惊地发现，画出的图显示出奇妙而无穷的复杂性。这是三维空间里的双重绕图，就像是有两翼翅膀的一只蝴蝶；它意味着一种新的序，轨线被限制在某个边界之内，决不会越出这个边界；但轨线决不与自身相交，在两翼上转来转去地环绕着。这表示系统的性态永远不会重复，是非周期性的，从这一点来说，它又纯粹是无序的。
这就是1963年洛仑兹发表在《气象科学杂志》20卷第2期上的题为《确定性非周期流》中所列出的方程组。由于其中出现了xz、xy这些项，因而是非线性的，这意味着它们表示的关系不是简单的比例关系。一般地说，非线性方程组是不可解的，洛仑兹的方程组也是不能用解析方法求解的，唯一可靠的方法就是用数值方法计算解。用初始时刻x、y、z的一组数值，计算出下一个时刻它们的数值，如此不断地进行下去，直到得出某一组“最后”的数值。这个方法叫做“迭代”，即反复做同样方法的计算。
正如这篇论文的标题所表示的，从确定性的方程和确定的初始状态（x、y、z的初始值）出发，经过多次迭代后，却得出了非周期性态的结果。
四、经济学案例
2003年，美国发现一宗疑似疯牛病案例，马上就给刚刚复苏的美国经济带来一场破坏性很强的飓风。扇动蝴蝶翅膀的，是那头倒霉的疯牛，受到冲击的，首先是总产值高达1750亿美元的美国牛肉产业和140万个工作岗位；而作为养牛业主要饲料来源的美国玉米和大豆业，也受到波及，其期货价格呈现下降趋势。但最终推波助澜，将“疯牛病飓风”损失发挥到最大的，还是美国消费者对牛肉产品出现的信心下降。在全球化的今天，这种恐慌情绪不仅造成了美国国内餐饮企业的萧条，甚至扩散到了全球，至少11个国家宣布紧急禁止美国牛肉进口，连远在大洋彼岸中国广东等地的居民都对西式餐饮敬而远之。这让人联想到时下的禽流感，最初在个别国家发现的禽流感，很快波及全球，就算在没有发现禽流感的地区或国家，人们也会谈“鸡”色变。
1998年亚洲发生的金融危机和美国曾经发生的股市风暴实际上就是经济运作中的蝴蝶效应；1998年太平洋上出现的厄尔尼诺现象就是大气运动引的蝴蝶效应。蝴蝶效应是混沌运动的表现形式。当我们进而考察生命现象时，既非完全周期，又非纯粹随机，它们既有锁频到自然界周期过程(季节、昼夜等)的一面，又保持着内在的自治性质。蝴蝶效应也是混沌学理论中的一个概念。它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象：输入端微小的差别会迅速放大到输出端压倒一切的差别。
注：那部美国电影《蝴蝶效应》的故事其实不是真正意义的蝴蝶效应。一个人截然不同的童年，对成年后所带来的影响巨大，这不是蝴蝶效应。
意义相近的中国成语应该是“防微杜渐”，或“千里之堤，溃于蚁穴”。
五、《明朝的两只蝴蝶》
（作者：姜钦峰 来源：《第二课堂（高中版）》2012年第2期）
明末历史上发生了两件小事。公元1583年，明万历十一年，辽东总兵李成梁率兵攻打建州女真部的古勒城。明军遭到激烈抵抗，久攻不下，于是女真人塔克世和父亲两人冒险进城劝降。没想到劝降未成，此时突然城破，明军冲进去不分青红皂白，竟把塔克世父子也杀了。父子俩本来是为明朝做事，不料遭此惨祸，明朝解释这是“误杀”，给塔克世的儿子赔了30匹马了事。误杀了两个边塞草民，对于大明王朝来说，简直就不算个事儿，谁也没把它放在心上。
再说另一件小事。在塔克世父子被杀45年后，公元1628年，崇祯皇帝即位了。此时明朝已经风雨飘摇，崇祯接手的是一个烂摊子，国内民变四起，外有强敌虎视。内忧外患，连年征战，耗资巨大，朝廷陷入了财政危机。崇祯刚刚登基，便下令在全国整顿驿站，裁撤驿卒，以节省财政支出。驿站的主要职能是传递公文，并为过境的官员提供服务，驿卒就是这个机构中最底层的人，干活辛苦收入极低。裁员进展顺利，也收到了预期效果，据说仅此一项，每年就能为朝廷节省白银68万两。
精减机构，节流开源，本来不失为明智之举，但是朝廷只管裁减，却不负责安置。与皇帝的江山相比，百姓的死活显然是小事一桩，但这对银川驿站的驿卒们来说，却是天大的事！当时西北连年大旱，饿殍遍野，树皮都吃光了，人吃人的惨剧时有发生。在这种情况下，失去了生活来源，要么等死，要么揭竿而起。饿死是死，造反也是死，两条都是死路，要做出选择其实一点都不难：与其做饿死鬼不如做饱死鬼，运气好的话，说不定还能封妻荫子，留名千古。
在这批下岗的驿卒当中，有一个名叫李自成的年轻人。李自成是陕西米脂县人，世代贫农，小时候给地主家放过羊，长大后在银川驿站谋了个驿卒的差事，好歹能混口饭吃，没想到崇祯新官上任三把火，一纸令下，就断了他的生路。康熙《米脂县志》记载：“明末李自成，银川驿之马夫耳。因裁驿站，饥荒，无所得食，奋臂一呼，卒至土崩，不可救！”李自成走投无路，被迫走上了革命道路。
1644年春天，李自成率农民军攻入北京紫禁城，顺便抢了崇祯的皇帝宝座。当年的银川驿卒以彼之道还彼之身，崇祯终于尝到了下岗的滋味，绝望中上吊自杀。崇祯恐怕做梦都想不到，当年裁掉一个小小的驿卒，竟为自己培养出一位掘墓人！后悔也没用了，如果不是打仗缺钱，崇祯也不会想到裁撤驿卒。跟谁打仗呢？明朝当时最主要的敌人，就是山海关外的清军。那么清军又是怎么冒出来的呢？这就要提到61年前发生的那件小事，因为明军当年“误杀”了两个女真人，即前面提到的塔克世和他的父亲。
塔克世有个儿子，名叫努尔哈赤。史书记载，努尔哈赤以十三副遗甲含恨起兵，从“含恨”二字不难看出，他为什么要造反。杀父之仇，不共戴天！但他不敢与明朝公然为敌，只能暗中积蓄力量，苦心经营。几十年后，努尔哈赤统一了女真各部，建立后金政权，雄踞关外。努尔哈赤死后，他的儿子继位，改国号为大清。
清军野心勃勃，开始逐鹿中原，不料被明朝精锐挡在山海关外，无法前进半步。恰在此时，李自成完成了对明朝的最后一击，天赐良机，清军趁机挥师入关。1644年的北京城，就像一个热闹非凡的大戏台，你方唱罢我登场。李自成抢了崇祯的位置，可惜只当了42天的皇帝，又被清军赶走，来也匆匆去也匆匆。紫禁城再次易主，大清顺治皇帝登极，他就是努尔哈赤的孙子。61年前，努尔哈赤的父亲和祖父被明军误杀，只赔了30匹马！
两只“蝴蝶”，轻轻扇动了几下翅膀，微风吹到1644年，终于引发了一场龙卷风，大明帝国随风飘散。