c++01背包问题

01背包问题是一个经典的动态规划问题，它的基本形式是：有一个背包，它的容量为C（Capacity）。现在有n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]。问你如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

其中，每个物品只有一个，要么装入背包，要么不装，因此称为01背包问题。

以下是C++实现01背包问题的代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> w[i] >> v[i];

    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 0;j <= m;j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j]; //不选当前物品
            if(j >= w[i]) //剩余空间大于当前物品的大小
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i]); //选当前物品
        }

    cout<

在该代码中，我们使用f[i][j]表示选前i个物品，体积为j时的最大价值，其中i=1,2,3,...,n，j=0,1,2,...,m。

由于每个物品只能选一次，因此我们可以将问题划分为两种情况：选或不选当前物品。

如果不选当前物品，则最大价值就是前i-1个物品中，体积为j的最大价值f[i-1][j]。

如果选当前物品，则最大价值就是前i-1个物品中，体积为j-w[i]的最大价值加上当前物品的价值v[i]，即f[i-1][j-w[i]]+v[i]。

综上所述，我们可以得到状态转移方程：

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i]);

最后，我们输出f[n][m]即可得到最大价值。

注：该代码时间复杂度为O(nm)，可以通过优化空间复杂度将其优化为O(m)。

现在我们就来优化一下

老规矩，先给代码

#include
#include

using namespace std;

const int N=1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    
    cout<

区别：j从m开始

从大到小开始，因为我们在用到第i行的时候，实际上我们用的是第i-1行，这就说明所有我们不需要保存所有的数据，只需要上一层的数据。可以理解dp[][]仍为2维，但是第一维长度为1.只有一层。保存上一层。
逆序是为了保存更新本层时，使用的是上一层的原始数据。

所以我们可以在体积最大的时候枚举，以保证取得最大值