2020-04-12

转自：判断一个数是否为质数/素数——从普通判断算法到高效判断算法思路_C/C++_huang_miao_xin的博客-CSDN博客

定义：约数只有1和本身的整数称为质数，或称素数。

计算机或者相关专业，基本上大一新生开始学编程都会接触的一个问题就是判断质数，下面分享几个判断方法，从普通到高效。

1）直观判断法最直观的方法，根据定义，因为质数除了1和本身之外没有其他约数，所以判断n是否为质数，根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可。C++代码如下：

bool isPrime_1( int num )

{    int tmp =num- 1;   

 for(int i= 2;i <=tmp; i++)      

    if(num %i== 0)        

        return 0 ;    

return 1 ;}

2）直观判断法改进上述判断方法，明显存在效率极低的问题。对于每个数n，其实并不需要从2判断到n-1，我们知道，一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)，据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧找不到约数，那么右侧也一定找不到约数。

C++代码如下：

bool isPrime_2( int num )

{    int tmp =sqrt( num);   

 for(int i= 2;i <=tmp; i++)        

if(num %i== 0)       

   return 0 ;   

 return 1 ;}

3）另一种方法方法（2）应该是最常见的判断算法了，时间复杂度O(sqrt(n))，速度上比方法（1）的O(n)快得多。最近在网上偶然看到另一种更高效的方法，暂且称为方法（3）吧，由于找不到原始的出处，这里就不贴出链接了，如果有原创者看到，烦请联系我，必定补上版权引用。下面讲一下这种更快速的判断方法；首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里有个题外话，关于孪生素数，有兴趣的道友可以再另行了解一下，由于与我们主题无关，暂且跳过。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。此时判断质数可以6个为单元快进，即将方法（2）循环中i++步长加大为6，加快判断速度，原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n至少得是一个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，则n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可，理论上讲整体速度应该会是方法（2）的3倍。

代码如下：bool isPrime_3( int num ){                //两个较小数另外处理                if(num ==2|| num==3 )                                return 1 ;                //不在6的倍数两侧的一定不是质数                if(num %6!= 1&&num %6!= 5)                                return 0 ;                int tmp =sqrt( num);                //在6的倍数两侧的也可能不是质数                for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )                                if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )                                                return 0 ;                //排除所有，剩余的是质数                return 1 ;}算法性能测试：编写测试代码，使用较多数据测试比较几种方法的判断效率，数据量40w，代码如下：#include #include #include #include using namespace std;bool isPrime_1( int num );bool isPrime_2( int num );bool isPrime_3( int num );int main(){                int test_num =400000;                int tstart ,tstop; //分别记录起始和结束时间                //测试第一个判断质数函数                tstart=clock ();                for(int i= 1;i <=test_num; i++)                                isPrime_1(i );                tstop=clock ();                cout<<"方法(1)时间(ms):" <

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