EGF中多项式exp的组合意义

EGF中多项式exp的组合意义

EGF一般用来处理多重集的排列问题，在其上可以定义多项式的exp运算，在处理一类问题的时候有独特的作用

我们考虑将n个有标号的元素分为k个非空无序集合的方案数，记其EGF为$F_k$,再考虑$f_i$表示在这个我们定义的集合中对集合元素的计数方式（也就是考虑元素在集合内的排列方式的个数，这是一个只跟集合大小有关的值），那么根据生成函数的定义，我们不难得到下式

$F_k(n)=\frac{n!}{k!}{\sum }_{{\sum }_{i=1}^k{a}_i=n}{\prod }_{j=1}^k\frac{f_{a_j}}{a_j!}$，最后除以$k!$是因为这k个集合是无序的，而原本的多个多项式卷积显然是有序的

现在我们记$\widehat{F(x)}={\sum }_{i=0}^{inf}{f}_i\frac{x^i}{i!}$,也就是原本的$f_i$的EGF

再记$G_k(x)$为$F_k(n)$的EGF，则有

$G_k(x)={\sum }_{n=0}^{inf}{F}_k(n)\frac{x^n}{n!}$

$={\sum }_{n=0}^{inf}\frac{n!}{k!}({\sum }_{{\sum }_{i=1}^k{a}_i=n}{\prod }_{j=1}^k\frac{f_{a_j}}{a_j!})\frac{x^n}{n!}$

$=\frac{1}{k!}{\sum }_{n=0}^{inf}({\sum }_{{\sum }_{i=1}^k{a}_i=n}{\prod }_{j=1}^k\frac{f_{a_j}{x}^{a_j}}{a_j!})$

$=\frac{1}{k!}(\widehat{F(x)}{)}^k$

如果我们考虑所有$k\ge 0$,就有

${\sum }_{k\ge 0}{G}_k(x)={\sum }_{k\ge 0}\frac{(\widehat{F(x)}{)}^k}{k!}=exp\widehat{F(x)}$

我们惊奇地发现，$G(x)$的指数生成函数居然就是$f_x$的生成函数的exp！

总结一下，多项式exp的组合意义就是：有标号元素构成的集合划分为任意个非空子集的总方案数。

来几个具体的例子

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考虑大小为n的排列的个数是$n!$,其指数生成函数是$P(x)={\sum }_{n\ge 0}\frac{n!x^n}{n!}={\sum }_{n\ge 0}{x}^n=\frac{1}{1-x}$

一个大小为n的圆排列个数是$(n-1)!$,其指数生成函数是$G(x)={\sum }_{n\ge 1}\frac{(n-1)!x^n}{n!}={\sum }_{n\ge 1}\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)=ln(\frac{1}{1-x})$

不难发现$P(x)=expG(x)$

仔细理解一下，众所周知，一个大小为n的排列一定可以拆成若干个环，每一个环内部的排列数就是一个圆排列的方案数，所以大小为n的排列的方案数就是把$1,\mathrm{2...}n$分成若干个非空集合，每一个集合的圆排列方案数之积，这与我们上面讲到的exp的组合意义相符合
未完待续