【模板】【洛谷P5409】第一类斯特林数·列（多项式Exp）（多项式快速幂）
传送门
题解：
感觉求这个玩意的方法略迷，记录一下这个清奇的思路。
考虑展开 ( 1 + x ) t (1+x)^t (1+x)t
( 1 + x ) t = ∑ i = 0 ∞ ( t i ) x i = ∑ i = 0 ∞ x i t i ‾ i ! = ∑ i = 0 ∞ x i i ! ∑ j = 0 i [ i j ] ( − 1 ) i − j t j = ∑ j = 0 ∞ t j ∑ i = j ∞ x i i ! [ i j ] ( − 1 ) i − j \begin{aligned} (1+x)^t&=&&\sum_{i=0}^\infty {t\choose i}x^i\\ &=&&\sum_{i=0}^\infty \frac{x^it^{\underline{i}}}{i!}\\ &=&&\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}\sum_{j=0}^i\begin{bmatrix}i\\j\end{bmatrix}(-1)^{i-j}t^j\\ &=&&\sum_{j=0}^\infty t^j\sum_{i=j}^\infty\frac{x^i}{i!}\begin{bmatrix}i\\j\end{bmatrix}(-1)^{i-j} \end{aligned} (1+x)t====i=0∑∞(it)xii=0∑∞i!xitii=0∑∞i!xij=0∑i[ij](−1)i−jtjj=0∑∞tji=j∑∞i!xi[ij](−1)i−j
然后考虑 ln + exp \ln+\exp ln+exp的展开方式。
( 1 + x ) t = exp ( t ⋅ ln ( 1 + x ) ) = ∑ i = 0 ∞ t i ⋅ ( ln ( 1 + x ) ) i i ! \begin{aligned} (1+x)^t&=&&\exp(t\cdot \ln(1+x))\\ &=&&\sum_{i=0}^\infty t^i\cdot \frac{(\ln(1+x))^i}{i!} \end{aligned} (1+x)t==exp(t⋅ln(1+x))i=0∑∞ti⋅i!(ln(1+x))i
前后对比可以得到： ∑ j = i ∞ ( − 1 ) j − i [ j i ] x j i ! = ( ln ( 1 + x ) ) i i ! \sum_{j=i}^\infty \frac{(-1)^{j-i}\begin{bmatrix}j\\i\end{bmatrix}x^j}{i!}=\frac{(\ln(1+x))^i}{i!} j=i∑∞i!(−1)j−i[ji]xj=i!(ln(1+x))i
这是一种方法。
然而，我们考虑只有一个循环的置换的EGF：
∑ i = 1 ∞ ( i − 1 ) ! x i i ! = ∑ i = 1 ∞ x i i \sum_{i=1}^{\infty}\frac{(i-1)!x^i}{i!}=\sum_{i=1}^\infty\frac{x^i}{i} i=1∑∞i!(i−1)!xi=i=1∑∞ixi
直接对上面这个东西算K次方就能得到K个环的置换的生成函数。去掉环的排列顺序算上点的排列顺序就行了。
需要比较通用的快速幂板子。
时间复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)
代码：
#include