坦克世界WOT圣诞碎片抽箱子活动最优策略

坦克世界WOT圣诞碎片抽箱子活动最优策略

坦克世界圣诞可以通过使用碎片抽取邮票，每个相簿含有70张邮票，集齐可以换取皮肤。其中，有三种抽取的策略。

• 通过1250碎片抽取指定相簿的随机邮票，如果抽到重复的，分解该邮票可以返还100点碎片
• 通过3500碎片抽到不重复的邮票。
• 使用充能器直接抽取不重复的邮票。但是充能器的数量有限，我们在此不做考虑。

那么，采用怎么样的策略才能使得消耗的碎片的数学期望最小呢？
首先研究第一种方法。我们设抽取$k$次可以抽到我们没有抽到过的邮票，此时设我们还有$x$张邮票没有抽到。那么进行一次抽取，抽取到我们没有的邮票的概率为$\frac{x}{70}$。记$p=\frac{x}{70}$

所以我们能够看到，第一次就抽到的概率是
$$p$$
抽两次抽到的概率为
$$p(1-p)$$
抽n次抽到的概率为
$$p(1-p{)}^{n-1}$$
那么，抽取的花费是多少呢？考虑到如果没有抽到可以返还100点碎片，很容易看出来，抽n次花费的碎片为
$$1250+(n-1)\ast 1150$$
整理为
$$100+1150n$$
故整个抽取的数学期望可以表示为
$$\sum _{i=1}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}(100+1150i)$$
整理为
$$\sum _{i=1}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}100+\sum _{i=1}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}1150i$$
通过数列的性质，不难证明
$$\sum _{i=1}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}=1$$
$$\sum _{i=1}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}i=1/p$$
则我们就得到了还有x个邮票没抽到的时候，抽到一个我们没有的邮票的整体花费的数学期望：
$$cost=100+1150/p$$
$$cost=100+1150\ast 70/x$$
那么，当我们还有24个邮票没有抽到的时候，花费的数学期望为3454，比用3500硬抽便宜。
当还有23个邮票没抽到的时候，花费的数学期望为3600，比硬抽贵。

那么，策略就显而易见了，如果只抽一个相簿，那么，在还有24个及24个邮票没抽到的时候，采用随机抽取。之后，使用3500碎片或者充能器抽取。

那么问题来了，还有一种抽法，是使用1500抽取对应类别的邮票，如果考虑这种情况，概率又是怎么样呢？因为每种类别的邮票不同，所以这里设我们要抽取对应的某种邮票的总数为$m$，还有$y$张此种邮票没有抽取到。那么抽取到的概率为$q=y/m$
则花费的数学期望为
$$\sum _{i=1}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}(100+1400i)$$
$$cost=100+1400/q$$
$$q=y/m$$
具体采用随机抽还是分类抽，需要根据具体情况进行计算才知道呢


我们能够发现，当没有的图片占比高于0.34时，随机抽取是有利的。那么如果分类抽取的话，占比需要高于0.41左右。随机抽和分类抽哪个更有利，需要根据具体情况进行计算，不过从图形来看绝大多数情况是随机抽过更便宜呢。