坦克世界WOT圣诞碎片抽箱子活动最优策略

坦克世界WOT圣诞碎片抽箱子活动最优策略

坦克世界圣诞可以通过使用碎片抽取邮票,每个相簿含有70张邮票,集齐可以换取皮肤。其中,有三种抽取的策略。

  • 通过1250碎片抽取指定相簿的随机邮票,如果抽到重复的,分解该邮票可以返还100点碎片
  • 通过3500碎片抽到不重复的邮票。
  • 使用充能器直接抽取不重复的邮票。但是充能器的数量有限,我们在此不做考虑。

那么,采用怎么样的策略才能使得消耗的碎片的数学期望最小呢?
首先研究第一种方法。我们设抽取 k k k次可以抽到我们没有抽到过的邮票,此时设我们还有 x x x张邮票没有抽到。那么进行一次抽取,抽取到我们没有的邮票的概率为 x 70 \frac{x}{70} 70x。记 p = x 70 p=\frac{x}{70} p=70x

所以我们能够看到,第一次就抽到的概率是
p p p
抽两次抽到的概率为
p ( 1 − p ) p(1-p) p(1p)
抽n次抽到的概率为
p ( 1 − p ) n − 1 p(1-p)^{n-1} p(1p)n1
那么,抽取的花费是多少呢?考虑到如果没有抽到可以返还100点碎片,很容易看出来,抽n次花费的碎片为
1250 + ( n − 1 ) ∗ 1150 1250+(n-1)*1150 1250+(n1)1150
整理为
100 + 1150 n 100+1150n 100+1150n
故整个抽取的数学期望可以表示为
∑ i = 1 ∞ p ( 1 − p ) i − 1 ( 100 + 1150 i ) \sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}(100+1150i) i=1p(1p)i1(100+1150i)
整理为
∑ i = 1 ∞ p ( 1 − p ) i − 1 100 + ∑ i = 1 ∞ p ( 1 − p ) i − 1 1150 i \sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}100+\sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}1150i i=1p(1p)i1100+i=1p(1p)i11150i
通过数列的性质,不难证明
∑ i = 1 ∞ p ( 1 − p ) i − 1 = 1 \sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}=1 i=1p(1p)i1=1
∑ i = 1 ∞ p ( 1 − p ) i − 1 i = 1 / p \sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}i=1/p i=1p(1p)i1i=1/p
则我们就得到了还有x个邮票没抽到的时候,抽到一个我们没有的邮票的整体花费的数学期望:
c o s t = 100 + 1150 / p cost=100+1150/p cost=100+1150/p
c o s t = 100 + 1150 ∗ 70 / x cost=100+1150*70/x cost=100+115070/x
那么,当我们还有24个邮票没有抽到的时候,花费的数学期望为3454,比用3500硬抽便宜。
当还有23个邮票没抽到的时候,花费的数学期望为3600,比硬抽贵。

那么,策略就显而易见了,如果只抽一个相簿,那么,在还有24个及24个邮票没抽到的时候,采用随机抽取。之后,使用3500碎片或者充能器抽取。

那么问题来了,还有一种抽法,是使用1500抽取对应类别的邮票,如果考虑这种情况,概率又是怎么样呢?因为每种类别的邮票不同,所以这里设我们要抽取对应的某种邮票的总数为 m m m,还有 y y y张此种邮票没有抽取到。那么抽取到的概率为 q = y / m q=y/m q=y/m
则花费的数学期望为
∑ i = 1 ∞ p ( 1 − p ) i − 1 ( 100 + 1400 i ) \sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}(100+1400i) i=1p(1p)i1(100+1400i)
c o s t = 100 + 1400 / q cost=100+1400/q cost=100+1400/q
q = y / m q=y/m q=y/m
具体采用随机抽还是分类抽,需要根据具体情况进行计算才知道呢
坦克世界WOT圣诞碎片抽箱子活动最优策略_第1张图片
坦克世界WOT圣诞碎片抽箱子活动最优策略_第2张图片
我们能够发现,当没有的图片占比高于0.34时,随机抽取是有利的。那么如果分类抽取的话,占比需要高于0.41左右。随机抽和分类抽哪个更有利,需要根据具体情况进行计算,不过从图形来看绝大多数情况是随机抽过更便宜呢。

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